[论文解读] An explicit theory of $\pi_{1}^{\un,\crys}(\mathbb{P}^{1} - \{0,\mu_{N},\infty\})$ - V-1 : The Frobenius extended to $\pi_{1}^{\un,\DR}(\mathbb{P}^{1} - \{0,\mu_{p^{\alpha}N},\infty\})$

David Jarossay|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2017

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一句话总结

本文将 $π_1^{\un,\DR}$ 上的 Frobenius 结构从 $π_1^{\un,\DR}(\mathbb{P}^1 - \{0, \mu_N, \infty\})$ 扩展至 $p^\alpha N$ 阶单位根，建立了一个统一框架，整合了计算 $p$-进多重 zeta 值在单位根处的直接与间接方法。本文引入了广义伴随 $p$-进多重 zeta 值与伪迭代积分，通过调和 Ihara 作用与 $p$-进多 polylogarithm 映射，实现了在不同 $N$ 下的理论一致性。

ABSTRACT

Let $p$ a prime number. For all $N \in \mathbb{N}^{\ast}$ prime to $p$, let $k_{N}$ be a finite field of characteristic $p$ containing a primitive $N$-th root of unity. Let $X_{k_{N},N}= ext{ }\mathbb{P}^{1} - (\{0,\infty\} \cup \mu_{N}) ext{ }/ ext{ }k_{N}$. This work is an explicit theory of the crystalline pro-unipotent fundamental groupoid $(\pi_{1}^{\un,\crys})$ of $X_{k_{N},N}$. In the parts I to IV, we have considered each possible value of $N$ separately. The purpose of part V is to study the role of the morphisms relating $\pi_{1}^{\un}(\mathbb{P}^{1} - \{0,\mu_{N_{1}},\infty\})$ and $\pi_{1}^{\un}(\mathbb{P}^{1} - \{0,\mu_{N_{2}},\infty\})$ when $N_{1}$ divides $N_{2}$. In V-1, we specify this question to the theme of part I, the computation of the Frobenius. For any $N \in \mathbb{N}^{\ast}$, let $K_{N}=\mathbb{Q}_{p}(\xi_{N})$ where $\xi_{N}\in \overline{\mathbb{Q}_{p}}$ is a primitive $N$-th root of unity, and $X_{K_{N},N} = \mathbb{P}^{1} - (\{0,\infty\} \cup \mu_{N}) ext{ }/ ext{ }K_{N}$. For $N$ prime to $p$, we are used to view the Frobenius of $\pi_{1}^{\un,\crys}(X_{k_{N},N})$ as a structure on $\pi_{1}^{\un,\DR}(X_{K_{N},N})$. In V-1, we show that the Frobenius of $\pi_{1}^{\un,\DR}(X_{K_{N},N})$, iterated $\alpha \in \mathbb{N}^{\ast}$ times, can be extended canonically as a structure of $\pi_{1}^{\un,\DR}(X_{K_{p^{\alpha}N},p^{\alpha}N})$. This allows to define generalizations of adjoint $p$-adic multiple zeta values associated with roots of unity of order $p^{\alpha}N$, and several related objects. This also gives a canonical framework to relate to each other the direct method of computation of the Frobenius of I-1 and the indirect methods of computation of the Frobenius of I-2 and I-3.

研究动机与目标

• 统一在不同 $N$ 下计算 $π_1^{\un,\DR}(\mathbb{P}^1 - \{0, \mu_N, \infty\})$ 上 Frobenius 的直接与间接方法。
• 将 Frobenius 结构从 $π_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$ 扩展至 $π_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N})$，其中 $α \in \mathbb{N}^*$。
• 在 $p^\alpha N$ 阶单位根上定义广义伴随 $p$-进多重 zeta 值与伪迭代积分，取值于 $K_N = \mathbb{Q}_p(\xi_N)$。
• 建立从 $π_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N}) \to \u03c0_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$ 的态射与 Frobenius 作用之间的典范相容性。

提出的方法

• 通过典范迭代，将 $π_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$ 上的 Frobenius 算子扩展至 $π_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N})$。
• 通过形式参数 $ε_j$ 作为单位根的扰动，引入 $Σ$-调和 Ihara 作用于 $π_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N})$。
• 通过比较映射 $π_{\leftarrow \Sigma}$ 将和与伪积分联系，定义 $p$-进伪伴随双对数函数。
• 利用幂级数 $π_{l \geq 0} \frac{x^l}{l!}$ 在 $v_p(x) > \frac{1}{p-1}$ 时的 $p$-进收敛性，确保扩展 Frobenius 的良好定义性。
• 应用 $Σ$-调和 Ihara 作用，通过 $z \mapsto z^{p^\alpha}$ 将 $X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N}$ 上的 Frobenius 与 $X_{K_N,N}$ 上的 Frobenius 联系起来。
• 将 $p$-进伪伴随多重 polylogarithm 定义为 $U_K^r$ 上的局部解析函数，取值于调和 Ihara 代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对 $π_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$ 上的 Frobenius 进行典范迭代 $α$ 次，从而在 $π_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N})$ 上定义结构？
• RQ2 态射 $π_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N}) \to \u03c0_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$ 如何与 Frobenius 结构相互作用？
• RQ3 在 $p$-进 polylogarithm 的语言下，$Σ$-调和 Ihara 作用在 $X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N}$ 上的解析解释是什么？
• RQ4 如何通过统一框架调和第一部分中 Frobenius 的直接计算与第二至四部分的间接方法？
• RQ5 广义伴随 $p$-进多重 zeta 值在 $p^\alpha N$ 阶单位根处的代数与解析性质是什么？

主要发现

• 可以在 $π_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$ 上对 Frobenius 进行典范迭代 $α$ 次，从而在 $π_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N})$ 上定义结构。
• 扩展的 Frobenius 表示为 $π_{X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N}} = π_{X_{K_N,N}} \circ \Sigma$-调和 Ihara 作用后复合 $z \mapsto z^{p^\alpha}$。
• 广义伴随 $p$-进多重 zeta 值被定义为 $π_{\mathrm{PseudoLiAd}_{p,\alpha}(X_K)}$ 的系数，是单位根处多重调和和的 $p$-进类比。
• $Σ$-调和 Ihara 作用在 $|\epsilon_j|_p < p^{-1/(p-1)}$ 时良好定义，确保相关幂级数的收敛性。
• 比较映射 $π_{\leftarrow \Sigma}$ 满足 $π_{\leftarrow \Sigma} \circ π_{\leftarrow \Sigma} = \mathrm{id}$，建立了和与伪积分之间的对偶性。
• $p$-进伪伴随多重 polylogarithm 是 $U_K^r$ 上的局部解析函数，其在 $p^\alpha N$ 阶单位根处的取值即为广义伴随 $p$-MZV $\mu_{p^\alpha N}$。