[论文解读] An Improved Approximation Algorithm for Maximin Shares

Jugal Garg, Setareh Taki|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2019

Game Theory and Voting Systems参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖且简洁的方法，用于在具有可加估值的代理人之间公平分配不可分物品，实现了对最大最小份额（MMS）公平保证的 $(\frac{3}{4} + \frac{1}{12n})$-近似。该方法提出了一种强多项式时间算法，避免了对MMS值的近似，显著改进了先前的界限，尤其是在小$ n $时效果更佳，并首次为该问题建立了紧致的近似因子。

ABSTRACT

Fair division is a fundamental problem in various multi-agent settings, where the goal is to divide a set of resources among agents in a fair manner. We study the case where m indivisible items need to be divided among n agents with additive valuations using the popular fairness notion of maximin share (MMS). An MMS allocation provides each agent a bundle worth at least her maximin share. While it is known that such an allocation need not exist, a series of work provided approximation algorithms for a 2/3-MMS allocation in which each agent receives a bundle worth at least 2/3 times her maximin share. More recently, Ghodsi et al. [EC'2018] showed the existence of a 3/4-MMS allocation and a PTAS to find a (3/4-ε)-MMS allocation for an ε> 0. Most of the previous works utilize intricate algorithms and require agents' approximate MMS values, which are computationally expensive to obtain. In this paper, we develop a new approach that gives a simple algorithm for showing the existence of a 3/4-MMS allocation. Furthermore, our approach is powerful enough to be easily extended in two directions: First, we get a strongly polynomial-time algorithm to find a 3/4-MMS allocation, where we do not need to approximate the MMS values at all. Second, we show that there always exists a (3/4 + 1/(12n))-MMS allocation, improving the best previous factor. This improves the approximation guarantee, most notably for small n. We note that 3/4 was the best factor known for n> 4.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：在不依赖计算昂贵的MMS值近似的情况下，高效计算$\frac{3}{4}$-MMS分配。
• 将MMS分配的最佳已知近似因子提升至超过$\frac{3}{4}$，尤其针对代理人数量较少的情况。
• 设计一种简单且组合的算法，通过清晰直观的框架证明$\frac{3}{4}$-MMS分配的存在性。
• 将该方法扩展，推导出紧致的近似保证$\frac{3}{4} + \frac{1}{12n}$，并证明其最优性。
• 为任意$\epsilon > 0$提供一种PTAS，用于寻找$(\frac{3}{4} + \frac{1}{12n} - \epsilon)$-MMS分配。

提出的方法

• 利用鸽巢原理对高价值物品（某些代理人估值至少为$\frac{3}{4}$）进行贪心分配，将剩余的高价值物品数量减少至最多$2n'$，其中$n'$为剩余代理人数量。
• 通过缩放代理人估值，使每位代理人的MMS值为1，从而以该归一化基准清晰分析各捆绑包的价值。
• 使用袋子填充过程分配剩余物品，根据代理人的估值对捆绑包进行低、中、高价值类别的细致分类。
• 对于包含一项价值超过$\frac{5}{8} + \gamma$的捆绑包，引入虚拟物品，以在分析中维持价值界限，其中$\gamma = \frac{1}{12n}$。
• 一项关键技术创新是为捆绑包中的低价值物品设定一个价值阈值$y$，确保即使小物品也能对公平性保证做出有意义贡献。
• 通过基于高价值捆绑包数量($t_1$)的案例分析推导理论界限，分别处理$t_1 = 0$和$t_1 > 0$的情况，最终得出代理人$a$在最终分配中获得的价值下界为$x_a + \frac{l_a}{8}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一种更简单、更高效的算法实现$\frac{3}{4}$-MMS分配，且无需近似MMS值？
• RQ2 是否可能在$\frac{3}{4}$以上改进近似因子，尤其是在小$ n $时？
• RQ3 所提出的方法是否能产生一种强多项式时间算法，用于$\frac{3}{4}$-MMS分配，且不依赖于MMS值的PTAS？
• RQ4 能否将近似因子收紧至渐近最优或精确最优的值？
• RQ5 该框架能否扩展至对$n > 4$实现优于$\frac{3}{4}$-MMS的分配？

主要发现

• 本文证明了$(\frac{3}{4} + \frac{1}{12n})$-MMS分配的存在性，优于先前已知的最佳因子$\frac{3}{4}$。
• 近似因子$\frac{3}{4} + \frac{1}{12n}$是紧致的，意味着在相同假设下无法获得更优的因子。
• 开发出一种强多项式时间算法，可计算$\frac{3}{4}$-MMS分配，且无需对MMS值进行任何近似。
• 该算法在概念上简洁明了，依赖于高价值物品的贪心分配和一种改进的袋子填充技术，辅以虚拟物品实现价值平衡。
• 该方法可提供一种PTAS，用于为任意$\epsilon > 0$寻找$(\frac{3}{4} + \frac{1}{12n} - \epsilon)$-MMS分配，优于先前的PTAS构造。
• 分析表明，每位代理人最终获得的价值至少为$x_a + \frac{l_a}{8} - \frac{1}{8}$，这有助于实现改进的界限。