[论文解读] An Information-Theoretic Proof of the Constructive Commutative Quantum Lovász Local Lemma

Martin Schwarz, Toby S. Cubitt+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文提出了一种量子算法，通过受莫泽经典算法启发的信息理论方法，高效地为具有局部约束的可交换量子哈密顿量准备零能量基态。该算法在可交换情形下实现了对称量子洛瓦兹局部引理（QLLL）的构造性、高效量子算法，其运行时间和误差保证与原始引理的非构造性界完全一致。

ABSTRACT

The Quantum Lovász Local Lemma (QLLL) [AKS12] establishes non-constructively that any quantum system constrained by a local Hamiltonian has a zero-energy ground state, if the local Hamiltonian terms overlap only in a certain restricted way. In this paper, we present an efficient quantum algorithm to prepare this ground state for the special case of commuting projector terms. The related classical problem has been open for more than 34 years. Our algorithm follows the breakthrough ideas of Moser's [Moser09] classical algorithm and lifts his information theoretic argument to the quantum setting. A similar result has been independently published by Arad and Sattath [AS13] recently.

研究动机与目标

• 为具有可交换局部哈密顿量项的量子系统提供一种构造性、高效的零能量基态制备量子算法。
• 将莫泽的经典信息理论论证推广至量子领域，特别针对可交换投影算符。
• 实现与非构造性对称量子洛瓦兹局部引版（QLLL）参数完全匹配的紧运行时间和误差界。
• 解决量子哈密顿量复杂性领域长期存在的开放问题：在局部约束下高效制备高度纠缠的基态。
• 证明经典构造性 LLL 可作为该量子算法的特例被恢复，验证其通用性。

提出的方法

• 通过相干测量和比特序列的量子压缩，将莫泽的经典信息理论论证提升至量子领域。
• 采用一种递归量子算法，利用栈寄存器追踪测量失败并指导态的更新。
• 使用工作寄存器 $W$ 初始化为最大混合态，以及随机性寄存器 $R$ 生成用于测量的相干随机位。
• 应用典型子空间定理的强逆定理来限制误差概率并确保收敛。
• 在递归日志寄存器 $L$ 上实现压缩子程序，以减少所需操作数，利用熵界。
• 使用终止寄存器 $term$ 和标志寄存器 $F$ 与 $L$ 来管理递归深度和态转移。

实验结果

研究问题

• RQ1 莫泽的经典构造性 LLL 算法能否推广至可交换投影算符的量子情形？
• RQ2 在可交换 QLLL 情形下，制备零能量基态所需的最小运行时间和误差概率是多少？
• RQ3 信息理论压缩技术能否用于紧致化局部哈密顿量量子算法的运行时间界？
• RQ4 该量子算法是否实现了与非构造性 QLLL 相同的阈值参数，特别是 $d \leq 2^k / (re)$？
• RQ5 经典构造性 LLL 是否可作为该量子算法的特例被恢复？

主要发现

• 该算法对任意 $\varepsilon > 0$ 实现运行时间 $O(m + \log(1/\varepsilon))$，与最优经典界完全一致。
• 成功概率为 $1 - \varepsilon$，误差通过典型子空间定理的强逆定理进行有界控制。
• 该算法制备的量子态 $\sigma$ 满足对所有 $i$ 有 $\operatorname{Tr}(\Pi_i \sigma) = 0$，确认为零能量基态。
• 该方法在相同假设下使莫泽的经典论证更加紧致，其紧致性与非构造性对称 QLLL 一致。
• 运行时间界通过递归深度 $N$ 的紧致分析得出，其上界为 $b + 3a(\log(b) + 1)$，其中 $a = (k - \log(de))^{-1}$ 且 $b = (m + \log(1/\varepsilon)) / (k - \log(de))$。
• 该算法适用于秩至多为 $r$ 的可交换 $k$-局部投影算符，其阈值 $d \leq 2^k / (re)$ 与原始 QLLL 一致。