[论文解读] An intrinsic volume functional on almost complex 6-manifolds and nearly Kaehler geometry

Misha Verbitsky|ArXiv.org|Jul 8, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文在具有非退化 Nijenhuis 张量的几乎复 6-流形上引入了一个内在体积泛函，并证明其极值恰好对应于近乎凯勒结构。该文确立了在该类流形上，近乎凯勒度量在缩放意义下唯一，并通过度量锥上的 G₂-结构以及全反对称挠率的联络，对近乎凯勒几何进行了刻画。

ABSTRACT

Let $(M,I)$ be an almost complex 6-manifold. The obstruction to integrability of almost complex structure (so-called Nijenhuis tensor) maps a 3-dimensional bundle to a 3-dimensional one. We say that Nijenhuis tensor is non-degenerate if it is an isomorphism. An almost complex manifold is called nearly Kaehler if it admits a Hermitian form $ω$ such that $ abla(ω)$ is totally antisymmetric, $ abla$ being the Levi-Civita connection. We show that a nearly Kaehler metric on a given almost complex 6-manifold with non-degenerate Nijenhuis tensor is unique (up to a constant). We interpret the nearly Kaehler property in terms of G_2-geometry and in terms of connections with totally antisymmetric torsion, obtaining a number of equivalent definitions. Further on, we construct an intrinsic diffeomorphism-invariant functional on the space of almost complex structures on $M$, similar to the Hitchin functional, and compute its extrema in the following important case. Consider an almost complex structure $I$ with non-degenerate Nijenhuis tensor, admitting a Hermitian connection with totally antisymmetric torsion. We show that the intrinsic volume functional has an extremum in $I$ if and only if $(M,I)$ is nearly Kaehler.

研究动机与目标

• 在 6-流形的几乎复结构空间上定义一个微分同胚不变的体积泛函，类比于 Hitchin 的泛函。
• 在几乎复结构具有非退化 Nijenhuis 张量的背景下，研究该泛函的临界点。
• 通过几何与分析条件（包括全反对称挠率的联络）刻画 6-流形上的近乎凯勒结构。
• 在缩放意义下，确立具有非退化 Nijenhuis 张量的 6-流形上近乎凯勒度量的唯一性。
• 通过流形度量锥上的 G₂-结构与带挠率的厄米联络，统一近乎凯勒几何的不同定义。

提出的方法

• 定义内在体积泛函 $ \Psi(I) = \int_M \operatorname{Vol}_I $，其中 $ \operatorname{Vol}_I $ 由 Nijenhuis 张量及其对偶的行列式导出。
• 利用 Nijenhuis 张量的非退化性，通过一个典范 3-形式识别 $ \Lambda^{1,0}(M) \cong \Lambda^{2,0}(M) $，从而实现张量的识别。
• 应用几乎复结构的无穷小变分理论，以 $ \delta \in \Lambda^{0,1}(M) \otimes T^{1,0}(M) $ 参数化，计算 $ \Psi $ 的一阶变分。
• 导出一阶变分公式 $ \frac{d\Psi}{dI}(\delta) = 2\operatorname{Re} \int_M \overline{\partial}\delta \wedge \omega $，其中 $ \omega $ 为厄米形式。
• 通过分部积分法证明 $ \Psi $ 在极值处当且仅当 $ \overline{\partial}\omega = 0 $，或等价地 $ d\omega \in \Lambda^{3,0} \oplus \Lambda^{0,3} $。
• 建立近乎凯勒几何与 $ \nabla\omega $ 全反对称的等价性，从而将其与流形上度量锥的 $ G_2 $-结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非退化 Nijenhuis 张量的几乎复 6-流形上，何种条件可确保内在体积泛函 $ \Psi(I) = \int_M \operatorname{Vol}_I $ 达到极值？
• RQ2 近乎凯勒条件如何通过全反对称挠率的联络与厄米几何来刻画？
• RQ3 6-流形上的近乎凯勒结构与它们的黎曼锥上的 $ G_2 $-结构之间存在何种关系？
• RQ4 在具有非退化 Nijenhuis 张量的 6-流形上，近乎凯勒度量是否由几乎复结构唯一确定（至多常数缩放）？
• RQ5 在何种条件下，存在一个具有全反对称挠率的厄米联络，可推出几乎复结构为近乎凯勒？

主要发现

• 内在体积泛函 $ \Psi(I) = \int_M \operatorname{Vol}_I $ 在几乎复结构 $ I $ 处达到极值，当且仅当 $ d\omega \in \Lambda^{3,0}(M) \oplus \Lambda^{0,3}(M) $，其中 $ \omega $ 为厄米形式。
• 具有非退化 Nijenhuis 张量的几乎复 6-流形，当且仅当其为近乎凯勒时，才存在具有全反对称挠率的厄米联络。
• 在该类流形上，近乎凯勒度量由几乎复结构在常数缩放因子意义下唯一确定。
• 6-流形上的近乎凯勒结构等价于其黎曼锥上的 $ G_2 $-结构，从而提供了几何刻画。
• 近乎凯勒条件等价于要求 $ \nabla\omega $ 全反对称，其中 $ \nabla $ 为 Levi-Civita 联络。
• 体积泛函的极值条件等价于 $ \overline{\partial}\omega $ 的消失，这在 Nijenhuis 张量非退化的假设下等价于近乎凯勒条件。