[论文解读] An introduction to the physics of Cartan gravity

Hans Westman, Tom Złośnik|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 57被引用 4

一句话总结

本文提出卡坦引力（Cartan gravity）作为一种基于 SO(1,4) 局域对称性与引力希格斯场 $V^A$ 的规范场论框架，该场动态地破缺对称性。结果表明，当 $V^2 = \text{const}$ 时，广义相对论得以重现；而当 $V^2$ 变化时，则导出具有传播 torsion 与度规签名改变的标量-张量引力，提供了一种无大爆炸奇点的哈特尔-孝普克无边界提案的经典类比。

ABSTRACT

A distance can be measured by monitoring how much a wheel has rotated when rolled without slipping. This simple idea underlies the mathematics of Cartan geometry. The Cartan-geometric description of gravity consists of a SO(1,4) gauge connection $A^{AB}(x)$ and a symmetry-breaking field $V^A(x)$. The clear similarity with symmetry-broken Yang-Mills theory suggests strongly the existence of a new field in nature: the gravitational Higgs field $V^A$. By treating $V^A$ as a genuine dynamical field we arrive at a natural generalization of General Relativity with a wealth of new phenomenology and with General Relativity reproduced exactly in the limit where $V^2$ tends to a positive constant. We show that in regions wherein $V^2(x)$ varies, but has a definite sign, the Cartan-geometric formulation is a form of a scalar-tensor theory. A specific choice of action yields the Peebles-Ratra quintessence model whilst more general actions are shown to exhibit propagation of torsion. Regions where the sign of $V^2$ changes correspond to a change in signature of the geometry; a simple choice of action with FRW symmetry yields, without any additional ad hoc assumptions, a classical analogue of the Hartle-Hawking no-boundary proposal. Solutions from more general actions are discussed. A gauge prescription for coupling matter to gravity is described and matter actions are presented which reduce to standard ones in the limit $V^2 ightarrow const$. It becomes clear that Cartan geometry may function as a novel platform for inspiring and exploring modified theories of gravity with applications to dark energy, black holes, and early-universe cosmology. We end by listing a set of open problems.

研究动机与目标

• 基于引力与杨-米尔斯理论之间的类比，发展一种基于卡坦几何的引力规范场论表述。
• 引入引力希格斯场 $V^A$ 作为基本动力学场，破缺 $SO(1,4)$ 对称性，并推广广义相对论。
• 研究 $V^2$ 的符号发生变化时的宇宙学解，导致度规签名改变，并实现哈特尔-孝普克无边界提案的类经典实现。
• 重构物质耦合方式，使所有物质作用量均成为一阶形式，与规范原理一致，并在 $V^2$ 为常数时还原为标准形式。
• 通过卡坦几何引力识别在暗能量、torsion 传播与早期宇宙宇宙学中出现的新现象。

提出的方法

• 采用卡坦几何，其中引力由 $SO(1,4)$ 规范连接 $A^{AB}$ 与 soldering 形式 $V^A$ 描述，后者破缺规范对称性。
• 通过卡坦结构方程从 $A^{AB}$ 与 $V^A$ 构造度规 $g_{\mu\nu}$ 与仿射联络 $\Gamma^\rho_{\mu\nu}$。
• 以规范场强度 $F^{AB} = dA^{AB} + A^A_C \wedge A^{CB}$ 与协变导数 $DV^A$ 定义曲率与 torsion。
• 从作用量原理推导运动方程，包括麦考德尔-曼索里作用量与更一般的多项式作用量。
• 使用微分形式与规范协变外微分实施变分法，系统地推导场方程。
• 在 FRW 对称性下分析宇宙学解，表明当 $V^2$ 改变符号时，时空几何发生签名改变，从而避免大爆炸奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用卡坦几何将引力表述为规范场论，其中 $V^A$ 作为基本场？
• RQ2 允许 $V^2(x)$ 变化时会产生何种宇宙学后果，特别是在其符号发生变化的区域？
• RQ3 能否通过签名改变在卡坦引力中实现哈特尔-孝普克无边界提案的类经典实现？
• RQ4 物质场如何耦合至卡坦引力？其运动方程的形式为何？
• RQ5 从 $V^A$ 的动力学中会引出何种现象学，特别是与暗能量及 torsion 传播的关系？

主要发现

• 在 $V^2(x) \to \text{constant}$ 的极限下，精确恢复广义相对论，表明该框架的一致性。
• 当 $V^2(x)$ 变化但保持确定符号时，理论退化为标量-张量理论，其中标量场 $\phi \propto V^2$ 与传播 torsion 共存。
• 特定作用量导出皮布尔-拉特拉五次元标量场模型，将 $V^A$ 的动力学与暗能量现象学联系起来。
• 在 $V^2(x)$ 改变符号的区域，时空几何发生签名改变，为哈特尔-孝普克无边界提案提供经典类比。
• 由一般作用量导出的宇宙学解避免了大爆炸奇点，并渐近趋近于广义相对论或其欧几里得版本。
• 通过规范规定耦合物质场的作用量在形式上成为一阶微分方程，狄拉克场与标量场在结构上呈现相似形式。