[论文解读] An l^{p}-Version of von Neumann Dimension for Representations of Equivalence Relations

Ben Hayes|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文为离散、保测、sofic等价关系的表示引入了 $l^p$-版本的冯·诺依曼维数，扩展了经典的 $l^2$-维数框架。它证明了在具有稠密像的等变映射下该维数的不变性，计算了当 $1 \leq p \leq 2$ 时 $L^p(\mathcal{R},\overline{\mu})^{\oplus n}$ 的维数，并在有限表示条件下定义了第一个 $l^2$-贝蒂数的 $l^p$-类比，为探究代价-$l^2$-贝蒂数猜想提供了新工具。

ABSTRACT

In our previous paper, "l^{p}-Version of von Neumann Dimension for Banach Space Representations of Sofic Groups," we define an extended version of von Neumann dimension for actions of a sofic group on a Banach space. This dimension was studied especially for the translation action of G on l^{p}(G), as well as the multiplication on the non-commutative L^{p} space associated with the group von Neumann algebra. We discuss how one can similarly define an extended dimension for representations of an equivalence relation. We also define an analogue of l^{2}-Betti numbers for equivalence relations in the l^{p}-case, this may shed some light on the conjectured relation between cost and first l^{2}-Betti number.

研究动机与目标

• 将冯·诺依曼维数理论扩展至 $1 \leq p \leq 2$ 范围内的离散、保测、sofic等价关系的 $l^p$-表示。
• 在有限表示假设下，为等价关系定义第一个 $l^2$-贝蒂数的 $l^p$-类比。
• 研究该 $l^p$-不变量与代价和 $l^2$-贝蒂数之间等式关系（代价 = $\beta_1 + 1$）的关联。
• 证明 $l^p$-维数在具有稠密像的等变映射下保持不变，使其成为表示的同构不变量。

提出的方法

• 改编 [13] 的方法，为 sofic 等价关系的 $L^p$-表示定义扩展的冯·诺依曼维数。
• 利用直接积分分解和离散 Hodge 分解，分析与图生成器 $\Phi$ 相关的 $l^p$-上同调空间 $H_1^{(p)}(\Phi)$。
• 应用 sofic 等价关系的 $\Sigma$-维数理论，为 $\mathcal{R}$-模定义 $\dim_{\Sigma,l^p}$ 和 $\underline{\dim}_{\Sigma,l^p}$。
• 利用控制收敛定理和测度论估计，控制 $\|\delta_{\Phi_x}\zeta_x^{(n)}\|_1$ 的收敛性，并在非阿贝尔情形导出矛盾。
• 利用 $L^p(E(\Phi)) / B_1^{(p)}(\Phi)$ 及其分解为 $L^p(\mathcal{R}_A, \overline{\mu}) \oplus H_1^{(p)}(\Phi_0)$ 的结构，证明 $c_1^{(p)}$ 的下界。
• 利用 $L^p(\mathcal{R}, \overline{\mu})^{\oplus n}$ 同构于 $\mathbb{F}_n$ 的树状图生成器 $\Phi$ 的 $L^p(E(\Phi))$ 的事实，显式计算维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 sofic 等价关系的表示定义一个有意义的 $l^p$-版本冯·诺依曼维数，从而推广 $l^2$-情形？
• RQ2 该 $l^p$-维数在弱同构或具有稠密像的等变映射下是否保持不变？
• RQ3 $1 \leq p \leq 2$ 时，$L^p(\mathcal{R}, \overline{\mu})^{\oplus n}$ 的 $l^p$-维数是多少？
• RQ4 能否为满足有限表示条件的等价关系定义第一个 $l^2$-贝蒂数的 $l^p$-类比？
• RQ5 $l^p$-上同调维数如何与猜想的恒等式 $\text{cost}(\mathcal{R}) = \beta_1^{(2)}(\mathcal{R}) + 1$ 相关联？

主要发现

• $L^p(\mathcal{R}, \overline{\mu})^{\oplus n}$ 的 $l^p$-维数在 $1 \leq p \leq 2$ 时等于 $n$，扩展了经典的 $l^2$-维数结果。
• $l^p$-维数在具有稠密像的等变映射下是递减的，因此是表示的同构不变量。
• 对于 $\mathbb{F}_n$ 的自由作用，$l^p$-上同调维数 $c_1^{(p)}(\mathcal{R})$ 等于 $n$，且对任意图生成器 $\Phi$，$l^p$-贝蒂数 $\underline{\beta}_1^{(p)}(\Phi)$ 等于 $n-1$，在 $\Sigma$-维数意义下成立。
• 若 $\mathcal{R}$ 是超有限且具有无限轨道，则 $c_1^{(p)}(\mathcal{R}) = 1$，与 $\mathbb{Z}$-作用情形一致。
• 对任意 sofic 近似 $\Sigma$，对任意图生成器 $\Phi$，不等式 $c_1^{(p)}(\mathcal{R}) \leq \beta_1^{(p)}(\Phi) + 1$ 成立，提供了上同调的上界。
• 对任意 $\mathbb{F}_n$ 的图生成器 $\Phi$，$l^p$-贝蒂数 $\underline{\beta}_1^{(p)}(\Phi)$ 至少为 $n-1$，且当 $\Phi$ 为树状图时恰好等于 $n-1$。