[论文解读] An LP with Integrality Gap 1+epsilon for Multidimensional Knapsack

David Pritchard|arXiv (Cornell University)|May 18, 2010

Optimization and Packing Problems参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文提出了一种多项式规模的线性规划（LP）松弛方法，用于k维背包问题，其整数性间隙至多为1+ϵ，其中k和ϵ>0为任意固定值。该方法通过结合过滤（猜测高价值或高约束项）与析取规划，实现了对分数解的近似最优舍入，并进一步推广到打包情形下的成本无关LP公式。

ABSTRACT

In this note we study packing or covering integer programs with at most k constraints, which are also known as k-dimensional knapsack problems. For any integer k > 0 and real epsilon > 0, we observe there is a polynomial-sized LP for the k-dimensional knapsack problem with integrality gap at most 1+epsilon. The variables may be unbounded or have arbitrary upper bounds. In the packing case, we can also remove the dependence of the LP on the cost-function, yielding a polyhedral approximation of the integer hull. This generalizes a recent result of Bienstock on the classical knapsack problem.

研究动机与目标

• 开发一种针对k维背包问题的多项式规模LP松弛，其整数性间隙较小且有界。
• 将Bienstock的1维背包结果推广至高维情形，实现整数性间隙为1+ϵ。
• 在打包情形下，构建一种不依赖目标函数c的LP松弛，从而实现整数凸包的多面体逼近。
• 探讨是否可为覆盖版本的k维背包问题构造出类似的、不依赖成本的LP，且具有较小的整数性间隙。
• 提供一个基于过滤与析取规划的理论框架，以实现对分数解的近似最优舍入。

提出的方法

• 使用过滤技术，猜测最优解中γ个最盈利的项目（或按每约束系数最高的项目），其中γ = k/ϵ。
• 对每个此类猜测g，定义一个子问题，通过修改边界d^g和右端项b^g，以强制包含所猜测的项目。
• 通过将所有此类子问题松弛组合成一个具有附加变量和约束的扩展LP，构建一个析取规划。
• 确保扩展LP具有多项式规模：在成本相关情形下，变量数为n^{O(k/ϵ)}，约束数为kn^{O(k/ϵ)}。
• 在成本无关情形下，将基于利润的过滤替换为基于约束的过滤——即猜测在k个维度中每约束系数最大的γ个项目。
• 使用舍入策略：对分数解进行向下舍入（打包情形）或向上舍入（覆盖情形），并通过每约束移除一个低代价项目集合来修正不可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为k维背包问题构造出一种多项式规模的LP松弛，使得对任意固定k和ϵ>0，其整数性间隙为1+ϵ？
• RQ2 能否使该LP在打包情形下独立于目标函数c，从而实现对整数凸包的多面体逼近？
• RQ3 是否可将成本无关LP的构造方法推广至k维背包问题的覆盖版本？
• RQ4 在去除对c的依赖时，LP规模与整数性间隙之间的权衡关系如何？
• RQ5 过滤与析取规划方法是否可用于在高维情形下实现(1+ϵ)-近似，并获得紧凑的LP公式？

主要发现

• 对任意固定k和ϵ>0，存在一种多项式规模的扩展LP松弛，用于k维背包问题，其整数性间隙至多为1+ϵ。
• 当在构造中使用目标函数c时，LP的规模为n^{O(k/ϵ)}个变量和kn^{O(k/ϵ)}条约束。
• 在打包情形下，可构造一种不依赖成本的LP松弛，其整数性间隙为1+ϵ，但规模增加至kn^{O(k²/ϵ)}个变量和约束。
• 该构造依赖于猜测γ = k²/ϵ个每约束系数最大的项目，从而实现有界成本损失的舍入。
• 对LP得到的分数解进行向下舍入（打包情形）或向上舍入（覆盖情形），可得到一个与最优解相差(1−ϵ)或(1+ϵ)因子的整数解。
• 该结果将Bienstock的1维背包结果推广至高维情形，并在打包情形下为整数凸包提供了多面体逼近。