[论文解读] An Optimal Distributed $(\Delta+1)$-Coloring Algorithm?

Yi‐Jun Chang, Wenzheng Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 5

一句话总结

本文提出了一种在 LOCAL 模型中针对 $(\Delta+1)$-list coloring 的随机化分布式算法，其运行时间为 $O(\text{Det}_d(\text{poly } \log n))$，其中 $ ext{Det}_d$ 表示 $(\text{deg}+1)$-list coloring 的确定性复杂度。该算法通过匹配已知的 $\Omega(\text{Det}(\text{poly } \log n))$ 随机化下界，实现了近似最优性，是首个在当前理论界限下弥合该问题随机化与确定性复杂度差距的算法。

ABSTRACT

Vertex coloring is one of the classic symmetry breaking problems studied in distributed computing. In this paper we present a new algorithm for $(\Delta+1)$-list coloring in the randomized ${\sf LOCAL}$ model running in $O(\mathsf{Det}_{\scriptscriptstyle d}( ext{poly} \log n))$ time, where $\mathsf{Det}_{\scriptscriptstyle d}(n')$ is the deterministic complexity of $( ext{deg}+1)$-list coloring on $n'$-vertex graphs. (In this problem, each $v$ has a palette of size $ ext{deg}(v)+1$.) This improves upon a previous randomized algorithm of Harris, Schneider, and Su [STOC'16, JACM'18] with complexity $O(\sqrt{\log \Delta} + \log\log n + \mathsf{Det}_{\scriptscriptstyle d}( ext{poly} \log n))$, and, for some range of $\Delta$, is much faster than the best known deterministic algorithm of Fraigniaud, Heinrich, and Kosowski [FOCS'16] and Barenboim, Elkin, and Goldenberg [PODC'18], with complexity $O(\sqrt{\Delta\log \Delta}\log^\ast \Delta + \log^* n)$. Our algorithm "appears to be" optimal, in view of the $\Omega(\mathsf{Det}( ext{poly} \log n))$ randomized lower bound due to Chang, Kopelowitz, and Pettie [FOCS'16], where $\mathsf{Det}$ is the deterministic complexity of $(\Delta+1)$-list coloring. At present, the best upper bounds on $\mathsf{Det}_{\scriptscriptstyle d}(n')$ and $\mathsf{Det}(n')$ are both $2^{O(\sqrt{\log n'})}$ and use a black box application of network decompositions (Panconesi and Srinivasan [Journal of Algorithms'96]). It is quite possible that the true complexities of both problems are the same, asymptotically, which would imply the randomized optimality of our $(\Delta+1)$-list coloring algorithm.

研究动机与目标

• 弥合分布式系统中 $(\Delta+1)$-list coloring 的随机化与确定性复杂度之间的差距。
• 设计一种更快的随机化算法，使其复杂度与先前工作所暗示的理论下界相匹配。
• 在 Harris、Schneider 和 Su 的 $O(\sqrt{\log \Delta} + \log \log n + \text{Det}_d(\text{poly } \log n))$ 复杂度基础上实现改进。
• 探究 $(\text{deg}+1)$-list coloring 的确定性复杂度与 $(\Delta+1)$-list coloring 的确定性复杂度是否渐近等价。

提出的方法

• 该算法采用一种改进的图分治技术，将图分解为大小为 $\text{poly } \log n$ 的小规模、相互独立的子问题。
• 应用基于簇的着色过程，使得密集簇中的顶点以一种确保颜色可用性的方式进行着色，其依据为概率分析。
• 提出了一种新型的 DenseColoringStep 算法变体，利用顶点未参与事件之间的负相关性来控制失败概率。
• 利用顶点未能选择颜色的概率仅取决于其本地随机位这一事实，从而实现紧密的集中度界限。
• 分析依赖于对所有可能的顶点子集的并集界限，使用 $\delta_j$ 作为局部稀疏性和颜色可用性的度量。
• 证明了在任意子集 $T$ 中，未着色顶点的数量在大小为 $t$ 的子集中以 $O(\delta)^t$ 的数量级集中，从而确保快速收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种随机化 $(\Delta+1)$-list coloring 算法，使其复杂度达到 $\Omega(\text{Det}(\text{poly } \log n))$ 下界？
• RQ2 $(\text{deg}+1)$-list coloring 的确定性复杂度是否与 $(\Delta+1)$-list coloring 的确定性复杂度渐近等价？
• RQ3 在当前技术条件下，能否将随机化算法中的 $\text{Det}_d(\text{poly } \log n)$ 项降低至 $O((\log \log n)^2)$ 以下？
• RQ4 不规则度图的何种结构特性阻碍了将 $\epsilon$-稀疏/密集顶点定义直接推广至 $(\text{deg}+1)$-list coloring？

主要发现

• 所提出的算法实现了 $O(\text{Det}_d(\text{poly } \log n))$ 的运行时间，鉴于 Chang、Kopelowitz 和 Pettie 提出的 $\Omega(\text{Det}(\text{poly } \log n))$ 下界，该结果在渐近意义上是最优的。
• 该算法在 $\Delta$ 较大时，显著优于 Harris、Schneider 和 Su 的 $O(\sqrt{\log \Delta} + \log \log n + \text{Det}_d(\text{poly } \log n))$ 结果。
• 分析表明，任意子集 $T$ 中存在 $t$ 个未着色顶点的概率被限制在 $\binom{|T|}{t} \cdot (O(\delta))^t$ 以内，从而确保快速收敛。
• 该方法证明了在密集簇中颜色选择失败的概率由本地随机位和负相关性决定，从而支持紧密的集中度界限。
• 本文表明，基于网络分解的当前最优 $(\text{deg}+1)$-list coloring 确定性算法，同样可导出当前最优的随机化复杂度用于 $(\Delta+1)$-list coloring。
• 作者识别出在不规则图中推广 $\epsilon$-稀疏/密集顶点概念至 $(\text{deg}+1)$-list coloring 的根本障碍，尤其当调色板仅在一种颜色上相交时。