[论文解读] Analogs of Cuntz algebras on Lp spaces

N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 18

一句话总结

本文引入了一类新的巴拿赫代数，记为 $\mathcal{O}_d^p$，作为在 $L^p$ 空间上作用的库恩茨代数的类比，其中 $p \in [1, \infty)$ 且 $d \geq 2$。它证明了这些代数的唯一性、简单性、纯无穷性、可约性，并计算了其拓扑 K-理论，表明当 $p_1 \neq p_2$ 时有 $\mathcal{O}_{p_1}^{d_1} \not\cong \mathcal{O}_{p_2}^{d_2}$，并构造了具有唯一结构性质和 K-理论性质的 $L^p$ 类 UHF 代数。

ABSTRACT

Graph algebras have been intensively studied in the C* and purely algebraic contexts. We propose another context: Banach algebras of operators on Lp spaces. We report on results on the analogs in this context of Cuntz algebras and UHF algebras. (The analogs of UHF algebras are needed for the proofs of some of the results on the analogs of Cuntz algebras.) For p ∈ [1, ∞) and d ∈ {2, 3, . . .}, we identify a “good” analog Odp of the Cuntz algebra Od which acts on spaces of the form Lp(X,μ). We prove uniqueness and simplicity of Odp. Unlike the C* case, these two results seem to be independent, and our proofs of the two results are entirely unrelated. We further prove that Odp is purely infinite and amenable as a Banach algebra, and we compute its topological K-theory, getting the expected answer. We prove that for d1,d2 ∈ {2,3,...} and for p1 ≠ p2, there is no nonzero continuous homomorphism from Op1 to Op2. We leave a number of problems open. In particular, we do pd1d2pp p not know whether the L spatial tensor product O2 ⊗p O2 is isomorphic to O2 for p ̸= 2. We prove that the “good” Lp analogs of UHF algebras are unique in a suitable sense, simple, amenable, have a unique continuous trace, and have the expected K-theory. We show that for each p and each supernatural number, there are uncountably many mutually nonisomorphic Lp UHF algebras with the same supernatural number and having all the properties given above except uniqueness and amenability. This talk will be primarily a survey, but will explain some of the key ideas.

研究动机与目标

• 在巴拿赫代数作用于 $L^p$ 空间的背景下，定义并研究 Cuntz 代数的类比。
• 确立 $L^p$ 类比 $\mathcal{O}_d^p$ 在 $d \geq 2$ 和 $p \in [1, \infty)$ 下的唯一性与简单性。
• 研究 $L^p$ 类 UHF 代数的结构，包括其唯一性、简单性与可约性。
• 计算 $\mathcal{O}_d^p$ 的拓扑 K-理论，并确认其与预期的 $K_0 = \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ 和 $K_1 = 0$ 一致。
• 探讨当 $p_1 \neq p_2$ 时 $\mathcal{O}_{p_1}^{d_1}$ 与 $\mathcal{O}_{p_2}^{d_2}$ 的非同构性，以及具有相同超自然数的不可数多个非同构 $L^p$ UHF 代数的存在性。

提出的方法

• 将 $\mathcal{O}_d^p$ 构造为由 $d$ 个等距算子生成的 $L^p(X, \mu)$ 上的巴拿赫代数，其正交范围之和等于单位算子。
• 采用适用于 $L^p$ 设置的算子代数技术，包括 $p$-巴拿赫代数结构和谱分析。
• 通过 $L^p$ 算子代数范畴中其泛性质证明 $\mathcal{O}_d^p$ 的唯一性。
• 采用不依赖迹或理想结构的直接方法证明其简单性，与 $C^*$-情形不同。
• 通过构造有界渐近单位并使用巴拿赫代数上同调技术，确立 $\mathcal{O}_d^p$ 的可约性。
• 使用适配于巴拿赫代数的 $K$-理论不变量计算拓扑 $K$-理论，证明 $K_0(\mathcal{O}_d^p) \cong \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ 且 $K_1(\mathcal{O}_d^p) = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $p \in [1, \infty)$ 的 $L^p$ 算子代数背景下，Cuntz 代数 $\mathcal{O}_d$ 的正确类比是什么？
• RQ2 对于 $d \geq 2$ 和 $p \in [1, \infty)$，$L^p$ 类比 $\mathcal{O}_d^p$ 是否唯一且简单，且这些性质是否如在 $C^*$-情形中一样独立成立？
• RQ3 $\mathcal{O}_d^p$ 的拓扑 $K$-理论是什么，它是否与 $C^*$-代数 $\mathcal{O}_d$ 的 $K$-理论一致？
• RQ4 当 $p_1 \neq p_2$ 时，是否存在从 $\mathcal{O}_{p_1}^{d_1}$ 到 $\mathcal{O}_{p_2}^{d_2}$ 的非零连续同态？
• RQ5 对于每个 $p$ 和超自然数，存在多少个非同构的 $L^p$ UHF 代数？它们共享哪些结构性质？

主要发现

• 在所有 $L^p$ 算子代数中，$L^p$ 类比 $\mathcal{O}_d^p$ 通过其泛性质被唯一刻画。
• 对于所有 $d \geq 2$ 和 $p \in [1, \infty)$，代数 $\mathcal{O}_d^p$ 作为巴拿赫代数是简单且纯无穷的。
• 作为巴拿赫代数，$\mathcal{O}_d^p$ 是可约的，且存在有界渐近单位。
• 代数 $\mathcal{O}_d^p$ 的拓扑 $K$-理论为 $K_0(\mathcal{O}_d^p) \cong \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ 且 $K_1(\mathcal{O}_d^p) = 0$，与 $C^*$-情形一致。
• 当 $p_1 \neq p_2$ 时，从 $\mathcal{O}_{p_1}^{d_1}$ 到 $\mathcal{O}_{p_2}^{d_2}$ 不存在非零连续同态，表明代数结构对 $p$ 有强烈依赖性。
• 对于每个 $p$ 和超自然数，存在不可数多个相互非同构的 $L^p$ UHF 代数，它们共享简单性、唯一连续迹和预期的 $K$-理论，但不共享唯一性或可约性。