[论文解读] Analysis and Application of Optimal Transport For Challenging Seismic Inverse Problems

Yunan Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2019

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 55被引用 3

一句话总结

本论文提出在全波形反演（FWI）中使用二次 Wasserstein 距离（W₂）作为鲁棒的残差度量，以克服传统基于 L² 的 FWI 的三大挑战：局部极小值、对噪声的敏感性以及在深反射界面下方对地下速度结构恢复能力差。通过利用最优传输理论，W₂ 同时捕捉振幅和相位差异，实现稳定且类似凸函数的收敛性，并在以反射波为主的地震数据中成功恢复次反射层下的速度结构。

ABSTRACT

In seismic exploration, sources and measurements of seismic waves on the surface are used to determine model parameters representing geophysical properties of the earth. Full-waveform inversion (FWI) is a nonlinear seismic inverse technique that inverts the model parameters by minimizing the difference between the synthetic data from the forward wave propagation and the observed true data in PDE-constrained optimization. The traditional least-squares method of measuring this difference suffers from three main drawbacks including local minima trapping, sensitivity to noise, and difficulties in reconstruction below reflecting layers. Unlike the local amplitude comparison in the least-squares method, the quadratic Wasserstein distance from the optimal transport theory considers both the amplitude differences and the phase mismatches when measuring data misfit. We will briefly review our earlier development and analysis of optimal transport-based inversion and include improvements, for example, a stronger convexity proof. The main focus will be on the third "challenge" with new results on sub-reflection recovery.

研究动机与目标

• 解决在缺乏低频数据或初始模型较差时，基于 L² 的全波形反演（FWI）中长期存在的局部极小值问题。
• 克服 L² 残差对高频噪声的敏感性，后者会放大伪影并降低反演质量。
• 实现对深反射界面下方低波数速度结构的准确恢复，传统 FWI 因缺乏直接波且依赖反射波而在此类区域失效。
• 证明基于 W₂ 的 FWI 在重建深层地下结构方面比 L²-FWI 具有更快的收敛速度和更高的准确性。
• 建立理论与数值证据，表明与标准 L² 范数相比，W₂ 在地震反问题中具有更优的凸性与稳定性。

提出的方法

• 在 FWI 中用二次 Wasserstein 距离（W₂）替代标准的 L² 残差函数，通过最优传输理论同时考虑振幅与相位差异来度量数据残差。
• 通过累积分布函数（CDF）及其逆函数在 1D 上实现 W₂ 的显式计算，从而在优化循环中实现高效的梯度计算。
• 应用 W₂ 在信号平移与缩放下的更严格凸性定理，证明其在模型更新中具有更优的收敛行为。
• 实施分层误差校正机制：首先校正数据残差的低频分量，随后校正高频分量，模拟多尺度优化策略。
• 利用当合成与观测数据接近时，W₂ 等价于加权 H⁻¹ 范数的性质，确保优化过程的稳定与平滑收敛。
• 在层状模型与 2004 年 BP 盐层模型上开展大规模数值实验，从数据残差、模型误差与收敛速度三个方面验证 W₂-FWI 相较于 L²-FWI 的性能优势。

实验结果

研究问题

• RQ1 二次 Wasserstein 距离（W₂）能否作为地震勘探中全波形反演的更凸、更稳定的目标函数，优于 L²？
• RQ2 在缺乏低频数据或初始模型较差的情况下，基于 W₂ 的 FWI 是否能缓解局部极小值问题？
• RQ3 与 L² 基的 FWI 相比，基于 W₂ 的 FWI 在噪声环境下的鲁棒性如何？
• RQ4 当仅存在反射波数据时，基于 W₂ 的 FWI 是否能成功恢复最深反射界面之下的速度结构？
• RQ5 W₂-FWI 中残差校正的分层行为是怎样的？其与低波数模型分量恢复的关系如何？

主要发现

• 在仅 150 次迭代内，W₂-FWI 的模型误差减少量超过 L²-FWI 的两倍；而 L²-FWI 经过 1800 次迭代后仅减少 7% 的模型误差。
• 当合成与观测数据接近时，W₂ 距离等价于加权 H⁻¹ 范数，从而确保优化过程中的稳定与平滑收敛。
• 在三层模型测试中，W₂-FWI 优先校正低频数据残差，随后校正高频残差，实现系统且稳定的模型更新。
• BP 盐层模型反演结果表明，W₂-FWI 能够成功重建最深反射界面之下的地层厚度与速度，而 L²-FWI 因周期混叠与收敛性差而失败。
• 残差的傅里叶分析显示，W₂-FWI 优先校正平滑模态误差，仅在平滑分量被最小化后才校正振荡模态误差，表明其具有分层的多尺度优化行为。
• 针对信号平移与缩放的 W₂ 改进凸性定理，证实了其理论鲁棒性，并拓展了其在具有时间偏移与缩放变化的地震数据中的适用范围。