[论文解读] Analysis of a high order Trace Finite Element Method for PDEs on level set surfaces

Jörg Grande, Christoph Lehrenfeld+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文提出了一种高阶迹有限元方法，用于在隐式定义的曲面上求解PDE，基于水平集函数的等参数映射对背景体网格进行处理。该方法在 $H^1(/Gamma)$-范数下实现了最优的误差界 $\mathcal{O}(h^{k+1})$，并引入了一种法向导数体积稳定化技术，确保高阶离散化条件下条件数均匀有界。

ABSTRACT

We present a new high order finite element method for the discretization of partial differential equations on stationary smooth surfaces which are implicitly described as the zero level of a level set function. The discretization is based on a trace finite element technique. The higher discretization accuracy is obtained by using an isoparametric mapping of the volume mesh, based on the level set function, as introduced in [C. Lehrenfeld, \emph{High order unfitted finite element methods on level set domains using isoparametric mappings}, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. 2016]. The resulting trace finite element method is easy to implement. We present an error analysis of this method and derive optimal order $H^1(Γ)$-norm error bounds. A second topic of this paper is a unified analysis of several stabilization methods for trace finite element methods. Only a stabilization method which is based on adding an anisotropic diffusion in the volume mesh is able to control the condition number of the stiffness matrix also for the case of higher order discretizations. Results of numerical experiments are included which confirm the theoretical findings on optimal order discretization errors and uniformly bounded condition numbers.

研究动机与目标

• 开发一种高阶有限元方法，用于在光滑、隐式定义的曲面上求解PDE，采用迹有限元方法。
• 解决在水平集曲面上高阶离散化下实现 $H^1(\Gamma)$-范数最优收敛率的挑战。
• 分析并比较迹FEM的稳定化技术，重点关注高阶设置下刚度矩阵的条件数。
• 证明所提出的法向导数体积稳定化方法在背景网格中曲面位置变化时，能保持条件数均匀有界。
• 提供一种实用且易于实现的方法，结合高阶精度与鲁棒条件数，避免复杂的曲面参数化。

提出的方法

• 该方法利用水平集函数对背景体网格进行等参数映射，以实现曲面几何的高阶逼近。
• 在变换后的背景网格上构造有限元空间，并通过迹运算将解限制在曲面上。
• 迹有限元公式采用Galerkin离散化，基函数从体有限元空间中追踪得到。
• 提出一种新型稳定化技术——法向导数体积稳定化，用于控制高阶设置下刚度矩阵的条件数。
• 采用统一框架对方法进行分析，可与现有稳定化方法（如鬼惩罚法和全梯度体积稳定化）进行比较。
• 理论分析包括一致性和误差估计，证明依赖于多项式延拓算子及对水平集函数的正则性假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过高阶水平集近似，而不依赖显式曲面参数化，构建用于曲面PDE的高阶迹有限元方法？
• RQ2 何种稳定化方法能确保高阶迹FEM离散化在曲面切割背景网格时条件数均匀有界？
• RQ3 所提出的等参数映射技术是否能对 $k$-次有限元实现 $H^1(\Gamma)$-范数误差的最优收敛率 $\mathcal{O}(h^{k+1})$？
• RQ4 在条件数和精度方面，法向导数体积稳定化与其它稳定化技术相比表现如何？
• RQ5 该方法能否在不需复杂曲面重构或参数化的情况下高效实现？

主要发现

• 所提出的高阶迹FEM在 $H^1(\Gamma)$-范数下实现了最优误差界 $\mathcal{O}(h^{k+1})$，如引理9所证明，并得到数值实验支持。
• 在所研究的方法中，法向导数体积稳定化是唯一能确保高阶离散化条件下条件数均匀有界的稳定化方法，即使曲面切割背景网格亦成立。
• 该方法易于实现，仅依赖于水平集函数的高阶有限元近似和标准有限元组装过程。
• 数值实验验证了最优收敛率和均匀有界的条件数，支持理论分析结果。
• 等参数映射技术可在无需显式曲面参数化或复杂曲面重构的情况下实现高阶几何逼近。
• 分析表明，通过等参数映射控制了分片平面逼近带来的几何误差，从而对最优收敛率有贡献。