[论文解读] Analysis of Lackadaisical Quantum Walks

Peter Høyer, Zhan Yu|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文在理论上证明了缺乏专注的量子行走——即在每个顶点上添加权重 ℓ = d/N 的自环的量子行走——在任意正则、局部弧对称图上，以常数成功概率在 O(√HT) 步内找到唯一标记顶点。关键贡献在于建立了缺乏专注量子行走与量子插值行走之间的直接等价性，验证了此前针对环面、环、约翰逊图和超立方体等图的数值猜想。

ABSTRACT

The lackadaisical quantum walk is a quantum analogue of the lazy random walk obtained by adding a self-loop to each vertex in the graph. We analytically prove that lackadaisical quantum walks can find a unique marked vertex on any regular locally arc-transitive graph with constant success probability quadratically faster than the hitting time. This result proves several speculations and numerical findings in previous work, including the conjectures that the lackadaisical quantum walk finds a unique marked vertex with constant success probability on the torus, cycle, Johnson graphs, and other classes of vertex-transitive graphs. Our proof establishes and uses a relationship between lackadaisical quantum walks and quantum interpolated walks for any locally arc-transitive graph.

研究动机与目标

• 解决关于缺乏专注量子走在结构化图上成功概率和运行时间的长期猜想。
• 为此前在环面、环、约翰逊图和超立方体上观察到的缺乏专注行走以常数概率成功这一数值发现提供理论基础。
• 在正则、局部弧对称图上，建立缺乏专注量子行走与量子插值行走之间的正式联系。
• 证明自环权重 ℓ = d/N 在广泛的顶点对称和对称图类中实现最优的常数成功概率。

提出的方法

• 作者通过在 d-正则图的每个顶点上添加权重为 ℓ 的自环来定义缺乏专注量子行走，从而推广了 coined walk 框架。
• 通过参数映射 s = 1 − ℓ/d，建立了缺乏专注量子行走与量子插值行走之间的数学等价性。
• 证明依赖于谱分析和量子击中时间的使用，表明两种行走类型的渐近量级相同。
• 利用引理和三角不等式论证，界定了两种行走模型状态演化之间的 ℓ2-范数差，证明其在 O(1/N^{1/4}) 内收敛。
• 分析利用了局部弧对称性，以确保标记顶点邻居间的均匀行为，从而实现理论可处理性。
• 该框架适用于任意 d-正则、局部弧对称图，包括顶点对称和对称图，如环面、约翰逊图和超立方体。

实验结果

研究问题

• RQ1 缺乏专注量子行走是否能在正则、局部弧对称图上以常数成功概率找到唯一标记顶点？
• RQ2 在这些图上，缺乏专注量子行走与量子插值行走之间是否存在正式等价性？
• RQ3 自环权重 ℓ = d/N 是否如先前数值研究所示，在多个图类中实现最优性能？
• RQ4 为何缺乏专注行走能在环面和环等图上以高概率成功，尽管此前缺乏理论证明？

主要发现

• 在任意 d-正则、局部弧对称图上，自环权重 ℓ = d/N 的缺乏专注量子行走能以常数成功概率找到唯一标记顶点。
• 缺乏专注量子行走的量子击中时间与量子插值行走的量子击中时间同阶，证明了二者渐近性能等价。
• 本文证明了自环权重 ℓ 对应于量子插值行走中的插值参数 s = 1 − ℓ/d，建立了两种模型之间的精确映射。
• 在所有测试的图类中，成功概率均保持远离零（即为常数），包括 √N × √N 的环面、环、约翰逊图和超立方体。
• 该理论框架验证了此前针对环面（ℓ = 4/N）、环（ℓ = 2/N）和约翰逊图（ℓ = d/N）的数值猜想，现已被理论证明。
• 结果可推广至所有正则、局部弧对称图，且该方法为分析缺乏专注行走提供了一般性理论工具，超越了顶点对称图的范围。