[论文解读] Anomalies of $(1+1)D$ categorical symmetries

Carolyn Zhang, Clay Córdova|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2023

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 30

一句话总结

这篇论文提出一 种 bulk（2+1）D 方法，使用 Drinfeld 中心和磁朗格里安代数来检测（1+1）D 的融合范畴对称性的异常，并给出来自 Tambara-Yamagami 范畴的障碍与示例。

ABSTRACT

We present a general approach for detecting when a fusion category symmetry is anomalous, based on the existence of a special kind of Lagrangian algebra of the corresponding Drinfeld center. The Drinfeld center of a fusion category $\mathcal{A}$ describes a $(2+1)D$ topological order whose gapped boundaries enumerate all $(1+1)D$ gapped phases with the fusion category symmetry, which may be spontaneously broken. There always exists a gapped boundary, given by the \emph{electric} Lagrangian algebra, that describes a phase with $\mathcal{A}$ fully spontaneously broken. The symmetry defects of this boundary can be identified with the objects in $\mathcal{A}$. We observe that if there exists a different gapped boundary, given by a \emph{magnetic} Lagrangian algebra, then there exists a gapped phase where $\mathcal{A}$ is not spontaneously broken at all, which means that $\mathcal{A}$ is not anomalous. In certain cases, we show that requiring the existence of such a magnetic Lagrangian algebra leads to highly computable obstructions to $\mathcal{A}$ being anomaly-free. As an application, we consider the Drinfeld centers of $\mathbb{Z}_N imes\mathbb{Z}_N$ Tambara-Yamagami fusion categories and recover known results from the study of fiber functors.

研究动机与目标

• 激发并分类（1+1）D 中融合范畴对称性的 ’t Hooft 异常
• 使用 Z[A] 中的磁朗格里安代数开发一个 bulk（2+1）D 标准来检测异常
• 将异常的存在与中心中的 boson 含量及 fiber functor 数据相关的阻碍联系起来
• 将该框架应用于 Tambara-Yamagami 融合范畴，特别是 ZN×ZN 的情形，并从 fiber functor 重新得到已知结果
• 展示关于非异常与异常融合范畴对称性的边缘视角与体积（bulk）视角的对比

提出的方法

• 使用融合范畴 A 的 Drinfeld 中心 Z[A] 来描述一个（2+1）D 拓扑序，其无壁边界枚举具有对称性 A 的（1+1）D 相
• 识别描述完全对称性破缺边界的 electric Lagrangian 代数 L_e，以及描述对称性、无边界的磁朗格里安代数 L_m
• 要求在 Z[A] 中存在与 L_e 直交平凡的磁朗格里安代数 L_m 以证明无异常；L_m 的阻碍意味着异常
• 从朗格里安代数的性质以及拓扑量子场论中的 boson 含量（如 boson 的数量）推导出可计算的无异常阻碍
• 分析 Tambara-Yamagami 范畴 TY_G^χ,ε（特别是 G ≅ Z_N × Z_N，当 N=2、N>2、N 为奇数时）并与已知 fiber functor 结果比较
• 讨论阿贝尔与非阿贝尔中心以及相关边界凝聚和朗格里安亚群

实验结果

研究问题

• RQ1 融合范畴对称性 A 何时在 Z[A] 中承认一个磁朗格里安代数，从而产生一个对称且无间隙的（1+1）D 边界？
• RQ2 是否可以高效计算出 Z[A] 中 L_m 存在性的阻碍以在不构建所有朗格里安代数的情况下检测 A 的异常？
• RQ3 Tambara-Yamagami 范畴，特别是 TY_{Z_N×Z_N}^{χ,ε}，在磁朗格里安代数标准下如何表现出异常或无异常行为？
• RQ4 fiber functors、朗格里安代数与实现 A 的（1+1）D SPT 存在之间的关系是什么？
• RQ5 反可逆对称性与非可逆对称性在 Drinfeld 中心框架下如何表现出异常？

主要发现

• 如果 Z[A] 存在一个磁朗格里安代数 L_m，与 electric L_e 直交且没有交集，则融合范畴对称性 A 是无异常的。
• L_m 存在性的阻碍可以给出高度可计算的异常判据，即使不进行完整的 L_m 构造。
• 对于阿贝尔中心 Z[Vec_G^ω]，某些 type-I 与 type-II 协同子群导致异常，与已知的协同外代数分类一致。
• 在 G = Z_N × Z_N 的 Tambara-Yamagami 范畴中，N 的具体取值和 F 符号的选取产生与先前结果一致的异常。
• 一个明确的示例表明 Vec_{Z_2}^ω 对平凡 ω 是无异常的，而对非平凡 ω 的异常存在，原因是在相应的 Z 中心中存在/不存在一个磁朗格里安亚群。
• 该框架将（1+1）D SPT 分类与异常结构与 bulk（2+1）D 拓扑序及其无壁边界联系起来。