[论文解读] Non-invertible symmetries and LSM-type constraints on a tensor product Hilbert space

Nathan Seiberg, Sahand Seifnashri+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2024

Quantum many-body systems参考文献 153被引用 10

一句话总结

该论文分析在晶格张量积希尔伯特空间上的不可逆的克拉默斯-旺尼尔型对称性，它与连续对称性的关系，并推导出一个针对具有此对称性的系统的LSM-type约束。

ABSTRACT

We discuss the exact non-invertible Kramers-Wannier symmetry of 1+1d lattice models on a tensor product Hilbert space of qubits. This symmetry is associated with a topological defect and a conserved operator, and the latter can be presented as a matrix product operator. Importantly, unlike its continuum counterpart, the symmetry algebra involves lattice translations. Consequently, it is not described by a fusion category. In the presence of this defect, the symmetry algebra involving parity/time-reversal is realized projectively, which is reminiscent of an anomaly. Different Hamiltonians with the same lattice non-invertible symmetry can flow in their continuum limits to infinitely many different fusion categories (with different Frobenius-Schur indicators), including, as a special case, the Ising CFT. The non-invertible symmetry leads to a constraint similar to that of Lieb-Schultz-Mattis, implying that the system cannot have a unique gapped ground state. It is either in a gapless phase or in a gapped phase with three (or a multiple of three) ground states, associated with the spontaneous breaking of the lattice non-invertible symmetry.

研究动机与目标

• 激发并在张量积晶格希尔伯特空间上定义一个简单的不可逆对称性，并将其与连续（场）理论的概念进行对比。
• 在有限链上构建并分析不可逆的Kramers-Wannier对称性。
• 探讨晶格缺陷与平移如何与不可逆对称性及其异常相互作用。
• 将晶格实现与连续融合范畴描述以及红外区的出现对称性联系起来。

提出的方法

• 引入带有平移和Z2对称性的晶格设定，并定义非可逆算子D，满足 D^2 = (1+η) T^{-1}。
• 描述D作用于晶格算子，如 X_j 和 Z_j Z_{j+1}。
• 通过克拉默斯-旺尼尔对偶性或Majorana/玻色化方法，给出 D 的矩阵乘积算子（MPO）构造。
• 发展带有或不带如Z2或对偶缺陷等的D的算子代数。
• 将晶格中的D与其连续极限中的非可逆对称性N联系起来，并比较它们的代数与对易关系。
• 讨论不可逆对称性的异常的作用，包括宇称/时间反演的考虑，以及内部对称性的出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有张量积希尔伯特空间的晶格上实现不可逆对称性，以及它与晶格平移之间的关系？
• RQ2 在晶格及连续场中，不可逆对称性所生成的算子与缺陷代数是什么？
• RQ3 晶格缺陷和gauging过程如何在晶格上产生不可逆缺陷和算子？
• RQ4 不可逆晶格对称性、异常与重整化后出现的连续对称性之间的相互作用是什么？
• RQ5 存在不可逆晶格平移对称性时，会出现哪些Lieb–Schultz–Mattis型约束？

主要发现

• 不可逆晶格平移算子D满足 D^2 = (1+η) T^{-1}，并与η对易，将投影到Z2-偶态。
• D作用于晶格算子使 X_j 映射到 Z_{j-1} Z_j 乘以 D，且将 Z_{j-1} Z_j 映射到 X_{j-1} 乘以 D，体现了晶格上的Kramers-Wannier对偶性。
• 晶格对称代数与连续理论的代数不同，并且依赖于链长L，在无限链时变为无穷维。
• 晶格到连续的讨论显示在连续中产生的不可逆对称性，其TY融合范畴结构对Ising型系统相关。
• 推导出一个LSM型约束：保持D的有限范围哈密顿量必须无隙（gapless）或破坏对称性，在对称性破缺的情形存在三区段条件。
• 三临界Ising模型作为具体例子，阐明临界态下D和η的作用及相 diagram。