[论文解读] Anomaly matching and symmetry-protected critical phases in $SU(N)$ spin systems in 1+1 dimensions

Yuan Yao, Chang-Tse Hsieh+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用 7

一句话总结

本文提出了一种由每个原胞内杨氏图方块数量模 $N$ 导出的拓扑不变量，用于表征具有 $SU(N)$ 旋转与平移对称性的 1+1D $SU(N)$ 自旋系统中的异常匹配。该不变量决定了系统是否能实现唯一的能隙相，或是否被限制于对称性保护的临界相（如 $SU(N)$ Wess-Zumino-Witten 理论），并约束了如 $SU(N')$（$N' > N$）等涌现的高阶对称性。核心结果是通过异常匹配实现了对对称性保护临界相的普遍分类。

ABSTRACT

We study $(1+1)$-dimensional $SU(N)$ spin systems in the presence of the global $SU(N)$ rotation and lattice translation symmetries. By matching the mixed anomaly of the $PSU(N) imes\mathbb{Z}$ symmetry in the continuum limit, we identify a topological index for spin model evaluated as the total number of Young-tableaux boxes of spins per unit cell modulo $N$, which characterizes the "ingappability" of the system. A nontrivial index implies either a ground-state degeneracy in a gapped phase, which can be regarded as a field-theory version of the Lieb-Schultz-Mattis theorem, or a restriction of the possible universality classes in a critical phase -- the symmetry-protected critical phase, e.g. only a class of $SU(N)$ Wess-Zumino-Witten theories can be realized in the low-energy limit of the given lattice model in the presence of the symmetries. Similar constraints also apply when a higher global symmetry emerges in the model with a lower symmetry. Our prediction agrees with several examples known in previous studies of $SU(N)$ models.

研究动机与目标

• 确定具有 $SU(N)$ 旋转与平移对称性的 1+1D $SU(N)$ 自旋系统相图的普遍约束。
• 通过异常匹配将 Lieb-Schultz-Mattis 定理推广至包含临界相的情形。
• 在对称性约束下，对临界相中的可能 universality 类进行分类，特别是 $SU(N)$ Wess-Zumino-Witten 理论。
• 推导出一个拓扑指标，以判断系统是否能具有唯一的能隙基态，或必须表现出基态简并。
• 约束在仅具有 $SU(N)$ 对称性的模型中，涌现高阶全局对称性（如 $SU(N')$，$N' > N$）的可能性。

提出的方法

• 作者使用 Fujikawa 方法计算连续极限下 $PSU(N)$ 与 $\bbZ$（平移）对称性之间的混合 't Hooft 异常，以处理费米子手征异常。
• 他们将拓扑不变量定义为每个原胞内杨氏图方块总数模 $N$，该不变量表征异常且与自旋表示无关。
• 通过在二维流形上计算狄拉克指标，得到相位因子 $\exp(2\pi i \mathcal{I}_N / N)$，其中 $\mathcal{I}_N$ 为拓扑指标。
• 通过比较晶格模型与低能有效场论中的异常，推导出允许临界相的选取规则。
• 利用 $p$ 重复制的 WZW 理论在 $p = N' / \gcd(N', k'm')$ 时为异常自由的性质，得出 LSM 指标的一致性条件。
• 该方法适用于能隙相与临界相，且指标决定了唯一能隙基态是否可能实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $SU(N)$ 与平移对称性下，每个原胞具有分数自旋的 1+1D $SU(N)$ 自旋系统是否可能具有唯一的能隙基态？
• RQ2 此类系统中允许的临界相 universality 类有哪些？它们如何受到对称性与异常匹配的约束？
• RQ3 在仅具有 $SU(N)$ 对称性的模型中，是否可能出现 $N' > N$ 的涌现 $SU(N')$ 对称性？若可能，其条件是什么？
• RQ4 作为每个原胞内杨氏图方块数模 $N$ 定义的拓扑指标，如何决定基态简并或临界性的存在？
• RQ5 混合 $PSU(N) \times \bbZ$ 异常在限制可能的低能有效场论方面起什么作用？

主要发现

• 拓扑指标 $\mathcal{I}_N$（定义为每个原胞内杨氏图方块总数模 $N$）决定了系统是否能具有唯一的能隙基态。
• 若 $\mathcal{I}_N \neq 0$，则意味着在能隙相中存在基态简并，或被限制于特定临界相，从而推广了 Lieb-Schultz-Mattis 定理。
• 在临界相中，仅能实现特定层级 $k$ 的 $SU(N)$ Wess-Zumino-Witten 理论，这是由于异常匹配的约束。
• 对更高对称性（如 $SU(N')$，$N' > N$）的涌现受到约束：此类对称性仅在 $\mathcal{I}_N \cdot N' / \gcd(N', k'm') \equiv 0 \mod N$ 时才可能出现，这在某些情况下禁止了其出现。
• 异常匹配条件解释了为何在 $SU(2)$ 对称的半整数自旋链中未观测到 $SU(3)$ 对称性，尽管理论预期如此。
• 该方法成功复现了 $SU(N)$ 模型中的已知结果，并为对称性保护临界相的分类提供了统一框架。