[论文解读] APMF < APSP? Gomory-Hu Tree for Unweighted Graphs in Almost-Quadratic Time.

Amir Abboud, Robert Krauthgamer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 59被引用 8

一句话总结

本文提出了一种随机化算法，可在 $ n^{2+o(1)} $ 时间内为无权简单图构建 Gomory-Hu 树，实现了首个在时间复杂度上优于所有点对最短路径（APSP）的亚立方时间 All-Pairs Maximum-Flow（APMF）算法。其关键创新在于引入了一种动态选择枢纽点的技术，取代了先前方法中的随机枢纽点选择，从而实现了近乎二次时间复杂度，并解决了关于无权图中最大流复杂度的开放性问题。

ABSTRACT

We design an $n^{2+o(1)}$-time algorithm that constructs a cut-equivalent (Gomory-Hu) tree of a simple graph on $n$ nodes. This bound is almost-optimal in terms of $n$, and it improves on the recent $ ilde{O}(n^{2.5})$ bound by the authors (STOC 2021), which was the first to break the cubic barrier. Consequently, the All-Pairs Maximum-Flow (APMF) problem has time complexity $n^{2+o(1)}$, and for the first time in history, this problem can be solved faster than All-Pairs Shortest Paths (APSP). We further observe that an almost-linear time algorithm (in terms of the number of edges $m$) is not possible without first obtaining a subcubic algorithm for multigraphs. Finally, we derandomize our algorithm, obtaining the first subcubic deterministic algorithm for Gomory-Hu Tree in simple graphs, showing that randomness is not necessary for beating the $n-1$ times max-flow bound from 1961. The upper bound is $ ilde{O}(n^{2\frac{2}{3}})$ and it would improve to $n^{2+o(1)}$ if there is a deterministic single-pair maximum-flow algorithm that is almost-linear. The key novelty is in using a ``dynamic pivot'' technique instead of the randomized pivot selection that was central in recent works.

研究动机与目标

• 弥合无权图中所有点对最大流（APMF）与所有点对最短路径（APSP）之间的复杂度差距。
• 在简单无权图中实现接近二次时间复杂度的 Gomory-Hu 树构造算法。
• 消除子立方时间 Gomory-Hu 树构造中的随机性，为简单图提供首个确定性子立方时间算法。
• 通过将问题归约至多重图，识别障碍，以确定在简单图中是否存在 $ m^{1+o(1)} $ 时间的 Gomory-Hu 树算法。

提出的方法

• 引入一种动态枢纽点技术，以替代先前工作中使用的随机枢纽点选择，从而更好地控制图的分解过程。
• 以带顶点需求的展平分解作为核心原 primitive，高效识别低导出率割集，并指导树的构建。
• 将 Gomory-Hu 树的构建问题归约为在边数为 $ n^{2+o(1)} $ 的图上进行 $ \tilde{O}(1) $ 次最大流计算，而非 $ n-1 $ 次最大流调用。
• 通过边细分技术，提出一种从多重图到简单图的新归约方法，以建立条件下界。
• 通过用确定性的动态枢纽点策略替代随机枢纽点选择，实现算法的去随机化，同时保持接近最优的时间复杂度。
• 在 Gomory-Hu 框架中应用对简单图割等价树的精细结构洞察。

实验结果

研究问题

• RQ1 无权简单图中的 All-Pairs Maximum-Flow 问题是否可在 $ n^{2+o(1)} $ 时间内求解？
• RQ2 是否可能在 $ m^{1+o(1)} $ 时间内构造简单图的 Gomory-Hu 树，或是否存在根本性障碍？
• RQ3 能否在不牺牲效率的前提下，完全去随机化 Gomory-Hu 树算法中的随机枢纽点选择？
• RQ4 若无权多重图存在子立方时间算法，是否意味着简单图也存在子立方时间算法？
• RQ5 在无权图中，All-Pairs Maximum-Flow 的复杂度是否严格低于 All-Pairs Shortest-Paths？

主要发现

• 本文提出了一种随机化算法，可在 $ n^{2+o(1)} $ 时间内构建 Gomory-Hu 树，解决了无权图中 APMF 是否可比 APSP 更快求解的开放性问题。
• 该算法改进了作者此前 $ \tilde{O}(n^{2.5}) $ 的时间上界，实现了接近二次时间复杂度。
• 首次为简单图中的 Gomory-Hu 树构造提供了确定性子立方时间算法，表明随机性并非突破 $ n^3 $ 障碍的必要条件。
• 若假设存在近乎线性时间的确定性单对最大流算法，则该算法的时间复杂度为 $ \tilde{O}(n^{2.66}) $；若此类算法存在，则复杂度可进一步优化至 $ n^{2+o(1)} $。
• 本文在假设多重图存在 $ n^{3-o(1)} $ 时间下界（基于一个猜想）的前提下，建立了简单图中 Gomory-Hu 树构造的条件 $ \Omega(n^{1.5}) $ 下界。
• 结果表明，除非无权多重图存在子立方时间算法，否则简单图中 $ m^{1+o(1)} $ 时间的 Gomory-Hu 树算法是不可能实现的。