[论文解读] Applications of Continuous Amortization to Bisection-based Root Isolation

Michael Burr|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2013

Algorithms and Data Compression参考文献 39被引用 3

一句话总结

本文将连续均摊法——一种复杂度分析技术——扩展至基于二分法的根隔离算法，实现了对子划分树大小和位复杂度的最优且简化的界。该方法被应用于多种算法（Sturm、Descartes、基于求值的算法），并推广至高维情形，相较于以往方法，尤其在根聚集的情况下，获得了更紧致、自适应的复杂度界。

ABSTRACT

Continuous amortization is a technique for computing the complexity of algorithms, and it was first presented by the author in Burr, Krahmer, & Yap (2009). Continuous amortization can result in simpler and more straight-forward complexity analyses, and it was used in Burr, Krahmer, & Yap (2009), Burr & Krahmer (2012), and Sharma & Yap (2012) to provide complexity bounds for simple root isolation algorithms. This paper greatly extends the reach of continuous amortization to serve as an overarching technique which can be used to compute complexity of many root isolation techniques in a straight-forward manner. Additionally, the technique of continuous amortization is extended to higher dimensions and to the computation of the bit-complexity of algorithms. In this paper, six continuous amortization calculations are performed to compute complexity bounds (on either the size of the subdivision tree or the bit complexity) for several algorithms (including algorithms based on Sturm sequences, Descartes' rule of signs, and polynomial evaluation); in each case, continuous amortization achieves an optimal complexity bound.

研究动机与目标

• 使用连续均摊法统一并简化基于二分法的根隔离算法的复杂度分析。
• 将连续均摊法扩展至高维域，以实现复数根的隔离。
• 为根隔离算法计算位复杂度界，而不仅限于树的大小。
• 为标准根隔离技术提供比现有文献更简单、更具自适应性的复杂度证明。
• 通过将其应用于包括Sturm序列、Descartes符号法则和CEVAL在内的多种算法，展示该技术的普适性。

提出的方法

• 在域 D 上使用非负停止函数 F(𝐱)，其中 F(𝐱) 限制了在 𝐱 附近使终止条件不成立的最小子区域大小。
• 通过积分 ∫_D d𝐱 / F(𝐱) 来界定子划分树的大小，其中 1/F(𝐱) 充当局部成本分摊。
• 通过将停止函数和积分推广至 R^n，将该方法扩展至二维域，以实现复数根的隔离。
• 通过将树大小界与基于深度的成本估计（结合对数项）相结合，将连续均摊法适配至位复杂度。
• 采用基于根间距和Mahler-Davenport界构造的停止函数，以捕捉在根聚集区域附近的自适应行为。
• 结合树大小与深度分析，推导出更紧致的位复杂度界，尤其适用于根间距较近的多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 连续均摊法能否系统性地应用于超越基于求值方法的广泛根隔离算法？
• RQ2 如何将连续均摊法扩展至计算位复杂度，而不仅限于树的大小？
• RQ3 该技术能否推广至高维域，以实现复数根的隔离？
• RQ4 当将连续均摊法应用于Sturm序列和Descartes符号法则时，所得的复杂度界是什么？
• RQ5 与现有根隔离复杂度界相比，连续均摊法在自适应性和紧致性方面表现如何？

主要发现

• 连续均摊法为Sturm序列、Descartes符号法则以及SqFreeEVAL等基于求值的算法实现了最优或近似最优的复杂度界。
• 对于具有 d 个根且根间距为 O(e^−√dL) 的多项式，通过连续均摊法得到的位复杂度为 e^O(d³L²)，优于以往方法的 e^O(d⁴L²)。
• 该方法得到更自适应的位复杂度界：d²·∑(ln|αᵢ₁−αᵢ₂|)²，其中对每对根的距离项单独平方，而不同于以往方法使用单一最大深度因子。
• 在根聚集的情况下，基于连续均摊法的界显著优于依赖最大树深度的方法，将复杂度从 e^O(d⁷/²L²) 降低至 e^O(d³L²)。
• 与以往工作（如 [49, 60]）相比，该技术简化了复杂度证明，避免了复杂的递归或分情况分析。
• 本文证明了连续均摊法可扩展至2D域和位复杂度，为跨维度和成本模型分析子划分算法提供了一个统一框架。