[论文解读] Approximately Envy-Free Budget-Feasible Allocation

Jiarui Gan, Bo Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2021

Game Theory and Voting Systems参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，可在预算约束下为具有相同加法估值的代理人计算出1/2-近似公平（EF1）分配。该算法引入了虚拟预算和可行配置，以实现高效且类似公平的分配，相较于以往工作，显著提升了近似比。

ABSTRACT

In the budget-feasible allocation problem, a set of items with varied sizes and values are to be allocated to a group of agents. Each agent has a budget constraint on the total size of items she can receive. The goal is to compute a feasible allocation that is envy-free (EF), in which the agents do not envy each other for the items they receive, nor do they envy a charity, who is endowed with all the unallocated items. Since EF allocations barely exist even without budget constraints, we are interested in the relaxed notion of envy-freeness up to one item (EF1). The computation of both exact and approximate EF1 allocations remains largely open, despite a recent effort by Wu et al. (IJCAI 2021) in showing that any budget-feasible allocation that maximizes the Nash Social Welfare (NSW) is 1/4-approximate EF1. In this paper, we move one step forward by showing that for agents with identical additive valuations, a 1/2-approximate EF1 allocation can be computed in polynomial time. For the uniform-budget and two-agent cases, we propose efficient algorithms for computing an exact EF1 allocation. We also consider the large budget setting, i.e., when the item sizes are infinitesimal compared with the agents' budgets, and show that both the NSW maximizing allocation and the allocation our polynomial-time algorithm computes have an approximation close to 1 regarding EF1.

研究动机与目标

• 解决在预算约束下计算近似公平分配的高效算法缺乏的问题。
• 改进纳什社会福利最大化分配所实现的1/4-近似EF1比。
• 设计一种多项式时间算法，为具有相同估值的代理人保证更优的近似比。
• 探索在特殊情况下（如两人或统一预算）精确计算EF1分配的可能性。
• 研究在大预算极限下，NSW最大化算法与所提算法的性能表现。

提出的方法

• 引入可行配置的概念，表示尊重代理人预算约束的物品捆绑集合。
• 采用逐步增加且低于实际代理人预算的虚拟预算，以允许不同真实预算的代理人之间进行捆绑交换。
• 使用贪心分配策略，优先分配单位密度（价值与大小之比）最高的物品，以保持效率。
• 采用类似0-1背包的选择过程，结合大小约束，通过移除低密度物品来确保预算可行性。
• 基于纳什社会福利的潜在函数论证，证明近似保证。
• 使用基于反证法的证明，涉及物品子集和价值比较，以确立1/2-近似比。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有相同加法估值的预算可行分配中，能否实现优于1/4的EF1近似比？
• RQ2 是否存在一种多项式时间算法，在预算约束下计算出1/2-近似EF1分配？
• RQ3 在特殊情况下（如两人或统一预算）能否高效计算精确的EF1分配？
• RQ4 在大预算极限下，NSW最大化算法与所提算法的性能表现如何？
• RQ5 引入虚拟预算和可行配置对预算约束下的公平分配有何影响？

主要发现

• 对于具有相同加法估值的代理人，可在多项式时间内计算出1/2-近似EF1分配。
• 在两人和统一预算情况下，可高效计算精确的EF1分配。
• 在大预算条件下，NSW最大化分配和所提算法的近似比均趋近于1（EF1）。
• 所提算法优于先前NSW最大化分配所实现的1/4-近似保证。
• 虚拟预算和可行配置的使用，使得即使在真实预算不同的情况下，也能有效实现捆绑交换。
• 理论分析证实，在给定假设下，该算法的近似比是紧的。