[论文解读] Approximately Stable Matchings with General Constraints

Yasushi Kawase, Atsushi Iwasaki|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Game Theory and Voting Systems参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文提出了一种在具有通用约束（如拟阵交集和多维背包问题）的双侧、一对一多匹配市场中，针对基数、加法或子模效用函数的近似稳定匹配框架。研究证明，检查稳定性等价于求解一个装箱问题，并提出了一种广义延迟接受算法，当存在 α-竞争比的在线装箱算法时，该算法可实现 α-稳定匹配，且通过归约至 NP-完全和 Σ₂^P-完全问题，证明了紧致的近似界。

ABSTRACT

This paper focuses on two-sided matching where one side (a hospital or firm) is matched to the other side (a doctor or worker) so as to maximize a cardinal objective under general feasibility constraints. In a standard model, even though multiple doctors can be matched to a single hospital, a hospital has a responsive preference and a maximum quota. However, in practical applications, a hospital has some complicated cardinal preference and constraints. With such preferences (e.g., submodular) and constraints (e.g., knapsack or matroid intersection), stable matchings may fail to exist. This paper first determines the complexity of checking and computing stable matchings based on preference class and constraint class. Second, we establish a framework to analyze this problem on packing problems and the framework enables us to access the wealth of online packing algorithms so that we construct approximately stable algorithms as a variant of generalized deferred acceptance algorithm. We further provide some inapproximability results.

研究动机与目标

• 解决具有通用效用函数的约束双侧匹配市场中稳定匹配非存在性的问题。
• 形式化近似稳定性，其中医院仅在获得乘法效用提升时才更改匹配。
• 刻画在不同效用和约束类型下，检查稳定性及稳定匹配存在性的计算复杂度。
• 开发一种广义延迟接受算法，通过使用 α-竞争比的在线装箱算法，生成 α-稳定匹配。
• 为 k-拟阵交集和 ρ-维背包约束建立近似比的紧致下界。

提出的方法

• 将稳定性检查问题归约为等价的离线装箱问题，利用独立系统约束的结构特性。
• 通过从不相交匹配（NP-完全）和 ∃∀3DM/∃∀子集和问题（Σ₂^P-完全）的归约，证明复杂度下界。
• 提出广义延迟接受（GDA）框架，其中医院使用在线装箱算法更新匹配。
• 将在线装箱算法的 α-近似保证应用于结果匹配，确保 α-稳定性。
• 利用定理 8 分析可行集与效用提升，推导出近似比的一般下界。
• 通过 k-拟阵交集和 ρ-维背包约束下加法效用的显式构造，证明紧致下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有通用约束和基数效用的双侧匹配市场中，稳定匹配存在的条件是什么？
• RQ2 在不同效用和约束类型下，检查给定匹配是否稳定的计算复杂度如何？
• RQ3 我们能否设计一种算法，在精确稳定性不可行时保证近似稳定匹配？
• RQ4 在 k-拟阵交集和 ρ-维背包约束下，α-稳定匹配可实现的紧致近似比是多少？
• RQ5 随着效用函数和约束类型的改变，复杂度类（P、NP-完全、Σ₂^P-完全）如何变化？

主要发现

• 当效用为基数或加法且约束为容量或拟阵时，检查稳定性可在多项式时间内完成；否则为 coNP-完全。
• 仅当效用为基数或加法且约束为容量或拟阵时，稳定匹配的存在性才可在多项式时间内判定；否则为 NP-完全或 Σ₂^P-完全。
• 对于具有加法效用的 k-拟阵交集约束，任何 α < k 的 α-稳定算法均不存在，表明紧致下界为 k。
• 对于具有加法效用且权重不超过容量 (1−ε) 的 ρ-维背包约束，任何 α < ρ/(2ε) 的 α-稳定算法均不存在，表明紧致下界为 ρ/(2ε)。
• 当存在 α-竞争比的在线装箱算法时，该框架可通过广义延迟接受构造 α-稳定匹配。
• 本文证明，对于具有加法效用的 k-拟阵交集或背包约束（k ≥ 3，ρ ≥ 2），检查稳定匹配存在性的问题为 Σ₂^P-完全。