[论文解读] Approximating Nash Social Welfare by Matching and Local Search

Jugal Garg, Edin Husić+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2022

Game Theory and Voting Systems被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种确定性、多项式时间的算法，可在子模估值下实现对对称纳什社会福利（NSW）问题的 $(4 + \varepsilon)$-近似，显著优于先前的随机化 $380$-近似。此外，当最大权重比 $\omega$ 有界时，该算法还提供了对非对称 NSW 问题的 olinebreak olinebreak $(\omega + 2 + \varepsilon)e$-近似，并证明了可同时计算出 $\nicefrac{1}{2}$-EFX 分配与对 NSW 的 $8 + \varepsilon$-近似，从而解决了公平分配领域中的一个关键开放问题。

ABSTRACT

For any $\eps>0$, we give a simple, deterministic $(4+\eps)$-approximation algorithm for the Nash social welfare (NSW) problem under submodular valuations. We also consider the asymmetric variant of the problem, where the objective is to maximize the weighted geometric mean of agents' valuations, and give an $\ee (ω+ 2 + \eps)$-approximation if the ratio between the largest weight and the average weight is at most $ω$. We also show that the $ frac12$-EFX envy-freeness property can be attained simultaneously with a constant-factor approximation. More precisely, we can find an allocation in polynomial time that is both $ frac12$-EFX and a $(8+\eps)$-approximation to the symmetric NSW problem under submodular valuations.

研究动机与目标

• 设计一种确定性多项式时间算法，实现对子模估值下对称纳什社会福利（NSW）问题的常数因子近似，优于先前的随机化 $380$-近似。
• 将近似保证扩展至非对称 NSW 问题，其中各代理具有不等权重，并提供依赖于最大权重比 $\omega$ 的近似界。
• 同时实现 $\nicefrac{1}{2}$-EFX（ envy-freeness up to half an item）形式的公平性与对 NSW 的常数因子近似，克服了以往在该类公平约束下效率损失与 $n$ 线性相关的缺陷。
• 开发一种结合匹配与局部搜索技术的新型算法框架，使在子模估值下实现紧致近似界成为可能。

提出的方法

• 该算法使用一种局部搜索过程，通过基于 NSW 边际收益的物品在代理间的交换或重新分配，迭代改进分配方案，由精心设计的势函数引导。
• 引入基于匹配的初始化步骤，以构建高质量的初始解，利用子模函数的结构确保有界的近似比。
• 关键组件是为物品引入价格向量 $p_j$ 和扰动参数 $\bar{\varepsilon}$，以控制局部搜索过程中公平性与效率之间的权衡。
• 分析依赖于利用子模性与 NSW 的指数效用函数推导出的不等式，对当前分配与最优分配之间的估值比进行有界控制。
• 通过强制执行在移除任意单个物品后，无代理会嫉妒其他代理的物品包，从而确保 $\nicefrac{1}{2}$-EFX 公平性，使用一种尊重该约束的修改版局部搜索。
• 最终的近似因子通过在代理间使用乘积界推导得出，结合 AM-GM 不等式，并对参数 $\omega$ 进行最大化以控制最坏情况下的损失。

Figure 1: White circles represent the agents, black squares the item set $H$ , and grey squares the favorite items. Solid lines represent matching $\tau$ , while dashed-dotted lines represent a subset of matching $\pi$ . Figure a) shows matching $\tau$ , matching $\pi$ for the agents in $A_{\pi}$ ,

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在子模估值下对对称 NSW 问题实现确定性的常数因子近似，优于先前的随机化 $380$-近似？
• RQ2 当代理权重不同时，非对称 NSW 问题的最佳近似比是多少？其与最大权重比 $\omega$ 的关系如何？
• RQ3 是否可能同时实现对 NSW 的常数因子近似与非平凡的公平性保证，如 $\nicefrac{1}{2}$-EFX？
• RQ4 在子模估值设定下，结合公平性与效率约束时，能否进一步改进近似因子？

主要发现

• 本论文提出了一种对子模估值下对称 NSW 问题的确定性 $(4 + \varepsilon)$-近似算法，相比先前最优的随机化 $380$-近似有显著提升。
• 对于非对称 NSW 问题，当最大权重与平均权重之比不超过 $\omega$ 时，该算法实现了 $(\omega + 2 + \varepsilon)e$-近似，其中 $\omega$ 是一个已知参数。
• 该算法可同时计算出 $\nicefrac{1}{2}$-EFX 分配与对对称 NSW 问题的 $(8 + \varepsilon)$-近似，从而解决了公平分配领域中的一个关键开放问题。
• 近似因子通过匹配初始化与基于价格的势函数的局部搜索的创新组合实现，确保了多项式时间收敛。
• 分析利用子模性与指数效用性质，建立了估值比的紧致界，最终近似因子通过在参数 $\omega$ 上的优化推导得出。
• 结果表明，即使在比可加或 XOS 更一般的子模估值下，公平性与效率也可同时实现常数因子保证。