[论文解读] Approximating permanents and hafnians

Alexander Barvinok|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 31被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种准多项式时间算法，可在所有矩阵元素被固定为 $\delta > 0$ 的有界区间 $[\delta, 1]$ 内的条件下，使用矩阵元素的低次多项式，以加法误差 $\epsilon$ 近似 $n\times n$ 实矩阵的永久行列式对数。该方法依赖复分析与非零区域，通过复平面中的“袖口”实现解析延拓与插值，从而保证多项式近似。

ABSTRACT

We prove that the logarithm of the permanent of an nxn real matrix A and the logarithm of the hafnian of a 2nx2n real symmetric matrix A can be approximated within an additive error 1 > epsilon > 0 by a polynomial p in the entries of A of degree O(ln n - ln epsilon) provided the entries a_ij of A satisfy delta < a_ij < 1 for an arbitrarily small delta > 0, fixed in advance. Moreover, the polynomial p can be computed in n^{O(ln n - ln epsilon)} time. We also improve bounds for approximating ln per A, ln haf A and logarithms of multi-dimensional permanents for complex matrices and tensors A.

研究动机与目标

• 开发一种确定性、准多项式时间算法，以加法误差 $\epsilon$ 近似实矩阵永久行列式的对数。
• 将此近似框架扩展至对称 $2n\times 2n$ 矩阵的哈夫尼亚安（hafnian）以及复矩阵与张量。
• 建立永久行列式或哈夫尼亚安非零的条件，从而通过复非零区域实现解析近似。
• 改进现有对有界元素矩阵的永久行列式及多维永久行列式的近似界。
• 提出一种基于复分析与多项式插值的通用方法，用于近似非负及复永久行列式与哈夫尼亚安。

提出的方法

• 利用复分析将永久行列式的可近似性与复零点位置关联，确保矩阵元素周围存在非零区域。
• 构造一个包含实区间 $[0,1]$ 的复平面子集 $S \subset \mathbb{C}$，使得多项式 $p(z) = \mathrm{per}(J + z(A - J))$ 在 $S$ 上不为零，从而实现解析延拓。
• 沿袖口 $S$ 应用插值技术，通过计算导数 $p^{(k)}(0)$ 近似 $p(1) = \mathrm{per}(A)$，其计算时间复杂度为 $n^{O(k)}$。
• 定义一个次数为 $O(\ln n - \ln \epsilon)$ 的多项式 $p$，使得对所有满足 $\delta \leq a_{ij} \leq 1$ 的矩阵，均有 $|\ln \mathrm{per} A - p(A)| \leq \epsilon$。
• 利用 $\mathrm{per} Z \neq 0$ 的事实，当对所有 $i,j$ 满足 $|1 - z_{ij}| \leq 0.5$ 时，确保存在非零区域以实现解析近似。
• 通过分析其生成多项式的非零区域，将该框架扩展至多维永久行列式与哈夫尼亚安。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用低次多项式，在加法误差 $\epsilon$ 内近似一个所有元素远离零的实矩阵永久行列式的对数？
• RQ2 矩阵元素需满足何种条件，才能保证其永久行列式非零，并可通过复插值实现解析近似？
• RQ3 永久行列式的近似框架能否扩展至对称矩阵的哈夫尼亚安，以及复矩阵或多维张量？
• RQ4 在满足 $\delta \leq a_{ij} \leq 1$ 的元素边界条件下，近似 $\ln \mathrm{per} A$ 所需的最低次多项式次数是多少？
• RQ5 是否存在一种准多项式时间算法，可避免精确计算中指数级复杂度，用于近似永久行列式？

主要发现

• 对任意 $\delta > 0$，存在一个次数为 $O(\ln n - \ln \epsilon)$ 的多项式 $p$，使得对所有 $n \times n$ 实矩阵且元素在 $[\delta, 1]$ 内，均有 $|\ln \mathrm{per} A - p(A)| \leq \epsilon$。
• 该多项式可在 $n^{O(\ln n - \ln \epsilon)}$ 时间内计算，从而建立了准多项式时间算法。
• 该方法可扩展至哈夫尼亚安：对 $2n \times 2n$ 对称矩阵，$\ln \mathrm{haf} A$ 可在加法误差 $\epsilon$ 内，通过次数为 $O(\ln n - \ln \epsilon)$ 的多项式近似。
• 对复矩阵，若对所有 $i,j$ 满足 $|1 - z_{ij}| \leq 0.5$，则 $\mathrm{per} Z \neq 0$，从而可实现 $\ln \mathrm{per} Z$ 的解析近似。
• 该框架适用于多维永久行列式：对元素在 $[\delta, 1]$ 内的张量，其 $d$-维永久行列式可在多项式时间内以 $n^{O(1)}$ 因子近似。
• 该方法依赖于构造一个在其中永久行列式多项式不为零的复袖口 $S$，从而在准多项式时间内实现插值与近似。