[论文解读] Approximation Algorithms for Generalized Multidimensional Knapsack

Arindam Khan, Eklavya Sharma+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2021

Optimization and Packing Problems参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对广义$(2,d)$背包问题的$(2+\varepsilon)$-近似算法，其中物品具有二维几何尺寸和$d$维向量权重，必须非重叠地装入单位正方形背包中，且在任一维度上均不能超过容量。该方法采用走廊分解，并引入了一个新问题——向量最大GAP（Vector-Max-GAP），为此问题开发了PTAS，从而实现对结构化装箱方案的高效搜索。

ABSTRACT

We study a generalization of the knapsack problem with geometric and vector constraints. The input is a set of rectangular items, each with an associated profit and $d$ nonnegative weights ($d$-dimensional vector), and a square knapsack. The goal is to find a non-overlapping axis-parallel packing of a subset of items into the given knapsack such that the vector constraints are not violated, i.e., the sum of weights of all the packed items in any of the $d$ dimensions does not exceed one. We consider two variants of the problem: $(i)$ the items are not allowed to be rotated, $(ii)$ items can be rotated by 90 degrees. We give a $(2+ε)$-approximation algorithm for this problem (both versions). In the process, we also study a variant of the maximum generalized assignment problem (Max-GAP), called Vector-Max-GAP, and design a PTAS for it.

研究动机与目标

• 设计一种$(2,d)$背包问题的近似算法，该问题是二维几何背包问题的推广，增加了$d$维向量容量约束。
• 解决在单一优化框架中同时处理几何装箱约束与多维向量容量限制的挑战。
• 提出一个新的问题变体——向量最大GAP（Vector-Max-GAP），将最大广义分配问题扩展至包含全局向量约束的情形。
• 为$(2,d)$背包问题的旋转与非旋转两种变体提供$(2+\varepsilon)$-近似算法。
• 通过将所提出的背包算法作为子程序，为未来在相关问题（如$(2,d)$装箱问题）中设计近似算法奠定基础。

提出的方法

• 应用走廊分解技术，通过移除垂直或水平方向的物品，重构最优装箱方案，得到一种‘良好’的装箱结构，使其更适合算法搜索。
• 引入向量最大GAP（Vector-Max-GAP）问题，其中物品具有与机器相关的尺寸和价值，且存在一个全局$d$维权重约束，限制所有机器上的总权重。
• 利用动态规划与舍入技术设计Vector-Max-GAP的PTAS，以处理多维约束。
• 将Vector-Max-GAP的PTAS作为子程序，用于在分解后的走廊结构中高效搜索高价值装箱方案。
• 猜测最优装箱中使用的容器集合（大、宽、高、面积），利用仅需常数量级容器的事实。
• 将结构化分解与Vector-Max-GAP的PTAS相结合，实现对$(2,d)$背包问题的$(2+\varepsilon)$-近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为同时具有几何与向量约束的$(2,d)$背包问题设计出$(2+\varepsilon)$-近似算法？
• RQ2 如何将最大广义分配问题推广以包含全局向量约束，同时仍能获得PTAS？
• RQ3 走廊分解能否被调整以处理几何背包问题中的多维向量约束？
• RQ4 是否可以通过使用更精细的装箱结构（如$L$-装箱）获得优于$2+\varepsilon$的近似比？
• RQ5 所提出的算法能否推广至更一般的$(d_G,d_V)$背包问题，其中物品为$d_G$维，权重为$d_V$维？

主要发现

• 为$(2,d)$背包问题的旋转与非旋转两种变体均实现了$(2+\varepsilon)$-近似算法。
• 提出了向量最大GAP（Vector-Max-GAP）问题，并为其开发了PTAS，这是实现主结果的关键技术贡献。
• 通过走廊分解获得的结构性结果，使问题可简化为常数量级的容器类型，从而使得穷举搜索成为可行。
• 容器装箱问题被证明是向量最大GAP的一个特例，因此继承了PTAS，这支持了算法框架的合理性。
• 该算法框架可作为子程序用于获得$(2,d)$装箱问题的近似算法。
• 该方法表明，将几何分解与多维背包技术相结合，可在受限装箱问题中实现更优的近似保证。