[论文解读] Approximation of functions with small jump sets and existence of strong minimizers of Griffith's energy

Antonin Chambolle, Sergio Conti+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 30被引用 32

一句话总结

本文建立了对具有小跳跃集的 GSBD 函数的维数无关近似结果，证明其可在稍小的区域中被光滑函数紧密逼近。该结果首次在所有维度上证明了线性化弹性力学中 Griffith 能量强极小解的存在性，扩展了此前仅限于二维的成果，通过闭合局部极小解的跳跃集实现。

ABSTRACT

We prove that special functions of bounded deformation with small jump set are close in energy to functions which are smooth in a slightly smaller domain. This permits to generalize the decay estimate by De Giorgi, Carriero, and Leaci to the linearized context in dimension n and to establish the closedness of the jump set for local minimizers of the Griffith energy.

研究动机与目标

• 建立任意维度下具有小跳跃集的 GSBD 函数的一般近似结果。
• 将 Griffith 能量强极小解的存在性结果从二维推广至更高维度。
• 在 GSBD 框架下闭合局部极小解的跳跃集，确保其在 (n−1) 维闭集上真正具有不连续性。
• 为 SBD 中准静态断裂演化与积分表示的研究奠定基础。

提出的方法

• 使用区域的 dyadic 立方体分解，根据跳跃集测度将立方体分类为“好”或“坏”。
• 在好立方体中，利用 Poincaré-Korn 型不等式，在小例外集外用仿射函数逼近原函数。
• 通过光滑化过程对好立方体中的函数进行正则化，确保其光滑性。
• 利用单位分解将好立方体中的光滑逼近与坏立方体中的原函数结合。
• 该构造确保逼近函数在区域的较大紧子集上光滑。
• 该方法被用于证明跳跃集趋于零的拟极小解的收敛性，从而得出强极小解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意维度 n ≥ 2 下，具有小跳跃集的 GSBD 函数能否被光滑函数逼近？
• RQ2 Griffith 能量局部极小解的跳跃集在高维中是否仍为闭集？
• RQ3 在无附加人工约束的 n 维线性化弹性力学中，能否建立 Griffith 能量强极小解的存在性？
• RQ4 小跳跃集函数的逼近方法如何实现对极小化解跳跃集的闭包？
• RQ5 Poincaré-Korn 不等式在小跳跃集 SBD 函数逼近中起到何种作用？

主要发现

• 本文建立了 n 维空间中具有小跳跃集的 GSBD 函数的近似结果，表明其可在稍小的区域中被光滑函数逼近。
• 该逼近方法确保所得函数在区域的较大紧子集上光滑，且能量与跳跃集均受控。
• 关键技术突破在于提出一种基于切片的新逼近技术，避免依赖 coarea 公式或平面特定构造。
• 该方法证明了在任意维度 n 下，Griffith 能量局部极小解跳跃集的闭包性质。
• 该结果意味着在 A2 类中，Griffith 能量存在强极小解，其中不连续集为闭集，且在该集外位移为 C1 类。
• 该证明依赖于跳跃集趋于零的序列的紧致性与下半连续性结果，该结果通过新逼近方案得以建立。