[论文解读] Existence of strong minimizers for the Griffith static fracture model in dimension two

Sergio Conti, Matteo Focardi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2016

Numerical methods in engineering参考文献 47被引用 36

一句话总结

本文在二维情形下建立了Griffith静力断裂模型强极小解的存在性，证明了极小解具有闭合的跳跃集和连续可微的形变。关键创新在于构造了二维SBDp函数的向量型Poincaré型不等式，通过Sobolev函数逼近实现紧致性与正则性，从而克服了向量情形下coarea公式失效的问题。

ABSTRACT

We consider the Griffith fracture model in two spatial dimensions, and prove existence of strong minimizers, with closed jump set and continuously differentiable deformation fields. One key ingredient, which is the object of the present paper, is a generalization of the decay estimate by De Giorgi, Carriero, and Leaci to the vectorial situation. This is based on replacing the coarea formula by a method to approximate $SBD^p$ functions with small jump set by Sobolev functions and is restricted to two dimensions. The other two ingredients are contained in companion papers and consist respectively in regularity results for vectorial elliptic problems of the elasticity type and in a method to approximate in energy $GSBD^p$ functions by $SBV^p$ ones.

研究动机与目标

• 在二维空间中建立Griffith断裂模型强极小解的存在性。
• 通过为具有小跳跃集的SBDp函数构造Poincaré型不等式，克服向量情形下缺乏coarea公式的缺陷。
• 证明松弛泛函的极小解具有闭合跳跃集，且在断裂集外为C1光滑。
• 将De Giorgi–Carriero–Leaci方法推广至二维弹性力学的向量情形。
• 为具有线弹性与表面能的脆性断裂存在性理论提供基础。

提出的方法

• 针对具有小跳跃集的SBDp函数，提出一种仅在二维成立的新逼近结果，以W1,p函数逼近。
• 利用该逼近结果推导SBDp函数的Poincaré型不等式，替代标量情形中使用的coarea公式。
• 将该逼近结果应用于控制GSBDp函数的能量，借助GSBDp逼近的伴随结果，通过SBVp函数实现能量控制。
• 结合新的Poincaré不等式与线弹性系统椭圆正则性理论，推导出极小解在断裂集外的C1正则性。
• 基于能量比较与尺度变换的衰减估计论证，证明跳跃集的下密度下界。
• 依赖于二维情形下极小解跳跃集本质上为闭集的事实，从而可定义闭合断裂集Γ = cl(Ju)。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维Griffith断裂模型是否允许具有C1形变与闭合断裂集的强极小解？
• RQ2 De Giorgi–Carriero–Leaci衰减估计能否推广至能量依赖于对称化梯度的向量情形？
• RQ3 在二维情形下，是否存在一种避免使用coarea公式的SBDp函数Poincaré型不等式？
• RQ4 在二维情形下，GSBDp函数能否通过具有有界迹的SBVp函数在能量意义下逼近？
• RQ5 在何种条件下，极小解的跳跃集为闭集，且形变在断裂集外为C1光滑？

主要发现

• 泛函(1.1)在二维情形下，于闭合断裂集与C1形变类中存在极小解。
• 任意极小解的跳跃集本质上为闭集，即H1(Ω ∩ Ju) = H1(Ω ∩ cl(Ju))成立。
• 极小解在Ω \ Ju（即断裂集的补集）上为C1光滑。
• 对所有x ∈ Ω ∩ Ju与足够小的ρ，有下密度下界H1(Ju ∩ Bρ(x)) ≥ ϑ1ρ，其中ϑ1仅依赖于问题参数。
• 证明关键依赖于二维SBDp函数的新Poincaré型不等式，该不等式替代了coarea公式。
• 该结果可推广至p-增长能量，其中fµ(ξ) = 1/p((Cξ·ξ + µ)^{p/2} - µ^{p/2})，h(x,z) = κ|z - g(x)|^p，且当p ≤ 2时g ∈ L∞(Ω; R2)，当p > 2时g ∈ W1,p(Ω; R2)。