[论文解读] Approximation properties of Chlodowsky variant of (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer operators

Vishnu Narayan Mishra, M. Mursaleen+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文提出了一类新的 (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer 算子的 Chlodowsky 变体，该算子推广了现有在无界区间上定义的 (p,q) 算子。建立了 Korovkin 型逼近定理，并利用连续模与 Ditzian-Totik 模估计了收敛速度，证明了在 [0, ∞) 上连续函数的统一收敛性。

ABSTRACT

In the present paper, we introduce the Chlodowsky variant of (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer operators which is a generalization of (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer operators. We have also discussed its approximation properties and rate of convergence.

研究动机与目标

• 提出一种新的 Chlodowsky 型 (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer 算子，用于在无界区间 [0, ∞) 上进行逼近。
• 通过满足 bn → ∞ 且 bn/[n]q → 0 的序列 (bn)，将 (p,q) 算子的应用范围从 [0,1] 扩展至 [0, ∞)。
• 在 [0, ∞) 上连续函数空间中，为新算子建立 Korovkin 型逼近定理。
• 利用连续模与 Ditzian-Totik 模光滑度分析收敛速度。
• 在适当选择 p, q 及序列 (bn) 的条件下，证明 C1+x²[0, ∞) 中函数的统一收敛性。

提出的方法

• 在 [0, bn] 上提出一种新的线性正算子 Cn,m(α,β)(f;x,p,q)，其基于 (p,q)-整数及满足 bn → ∞ 且 bn/[n]q → 0 的序列 (bn)。
• 推导出算子前四阶矩的显式公式，包括 E[(t−x)²]，用于收敛性分析。
• 应用正线性算子在无界区间上的 Korovkin 定理，证明对测试函数 1, t, t² 的收敛性。
• 使用 Ditzian-Totik 模光滑度 ω(f'; δ) 估计逼近误差并推导收敛速度。
• 运用 Cauchy-Schwarz 不等式控制误差估计中的二阶矩项，从而得出定量收敛结果。
• 建立如下形式的定量收敛估计：|Cn,m(α,β)(f;x,p,q) − f(x)| ≤ M(|[n+m]p,q/[n]p,q + β − 1|A + αbn/[n]p,q + β) + ω(f'; δ)[(Bn,p,q(α,β))¹ᐟ² + (1/δ)Bn,p,q(α,β)]，其中最优取值为 δ = (Bn,p,q(α,β))¹ᐟ²。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 Chlodowsky 方法将 (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer 算子推广至无界区间 [0, ∞)？
• RQ2 新提出的 Chlodowsky-(p,q) Bernstein-Stancu-Schurer 算子具有何种 Korovkin 型逼近性质？
• RQ3 这些算子在 C1+x²[0, ∞) 中函数的收敛速度如何？
• RQ4 序列 (bn) 的选择如何影响算子的收敛行为？
• RQ5 Ditzian-Totik 模光滑度能否有效用于推导该类新算子的定量收敛估计？

主要发现

• 所提出的 (p,q) Bernstein-Stancu-Schurer 算子的 Chlodowsky 变体是定义在 [0, bn] 上的线性正算子，其中 bn → ∞ 且 bn/[n]q → 0。
• 当 p, q → 1 且 m = 0 时，该算子退化为 Stancu-Chlodowsky 多项式。
• 算子的前四阶矩被显式计算，为收敛性分析提供了基础。
• 该算子在 [0, ∞) 上对测试函数 1, t, t² 满足 Korovkin 逼近定理。
• 通过 Ditzian-Totik 模光滑度推导出定量收敛估计，误差被包含二阶矩 Bn,p,q(α,β) 和模 ω(f'; δ) 的项所界定。
• 通过取 δ = (Bn,p,q(α,β))¹ᐟ²，论文实现了最优收敛速度 O((Bn,p,q(α,β))¹ᐟ²)，证明了在 C1+x²[0, ∞) 中函数的统一收敛性。