[论文解读] Arbitrage theory without a numéraire

Michael R. Tehranchi|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文在不假定存在计价单位资产的前提下，发展了一套离散时间套利理论，以鞅折扣因子为核心工具，建立了资产定价的基本定理。其主要贡献在于无需计价单位的无套利与完全对冲的刻画，适用于价格泡沫分析，并提出了连续时间中绝对套利与相对套利的离散时间类比。

ABSTRACT

This note develops an arbitrage theory for a discrete-time market model without the assumption of the existence of a numéraire asset. Fundamental theorems of asset pricing are stated and proven in this context. The distinction between the notions of investment-consumption arbitrage and pure-investment arbitrage provide a discrete-time analogue of the distinction between the notions of absolute arbitrage and relative arbitrage in the continuous-time theory. Applications to the modelling of bubbles is discussed.

研究动机与目标

• 在不假定存在计价单位资产的前提下，建立离散时间市场的资产定价基本定理。
• 使用鞅折扣因子而非依赖于计价单位的等价鞅测度，刻画无套利条件。
• 提供连续时间中绝对（投资-消费）与相对（纯投资）套利之间区别的离散时间类比。
• 在离散时间中形式化价格泡沫的概念，与连续时间定义保持一致。
• 证明即使在无计价单位的情况下，衍生品的最小对冲成本仍由鞅折扣因子下的期望所刻画。

提出的方法

• 将鞅折扣因子作为最优投资问题中的主要对偶变量，完全独立于任何计价单位。
• 应用广义条件期望与离散时间局部鞅理论，处理非可积或病态定义的随机变量。
• 采用受罗杰斯（2002）启发的效用最大化框架，推导资产定价基本定理，无需凸分析或分离定理。
• 利用卡巴诺夫定理（Kabanov’s theorem）证明，在弱条件下，局部鞅折扣因子可推出真实鞅折扣因子的存在性。
• 应用可测选择定理（如命题 7.10）以确保随机控制问题中优化器的可测性。
• 引入可测版本的波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理（命题 7.11），以处理证明中随机变量序列的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 资产定价的基本定理能否在不假定存在计价单位的前提下重新表述？
• RQ2 离散时间中投资-消费与纯投资套利的区分，如何对应于连续时间模型中绝对与相对套利的概念？
• RQ3 在无计价单位的离散时间市场中，能否有意义地定义价格泡沫？
• RQ4 在无计价单位的情况下，鞅折扣因子在刻画无套利与最小对冲成本方面起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，局部鞅折扣因子可推出真实鞅折扣因子的存在性？

主要发现

• 即使不假定存在计价单位，鞅折扣因子的存在性等价于离散时间市场中无套利的存在。
• 衍生品的最小对冲成本由所有鞅折扣因子下期望收益的上确界给出。
• 当市场缺乏计价单位时，离散时间价格泡沫仍可存在，其定义与连续时间中泡沫作为内在价值偏离的定义类似。
• 投资-消费与纯投资套利之间的区分，为连续时间模型中绝对与相对套利提供了离散时间类比。
• 当市场完备且无套利时，必须存在无风险计价单位，从而在新框架下恢复经典结果。
• 卡巴诺夫定理确保在给定条件下，局部鞅折扣因子可被转化为真实鞅折扣因子，从而可应用标准鞅技术。