[论文解读] Universal Arbitrage Aggregator in Discrete Time Markets under Uncertainty

Matteo Burzoni, Marco Frittelli+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文在模型不确定性下的离散时间金融市场中引入了一种通用套利聚合器，通过灵活的显著集类来定义‘S类套利’。研究证明，不存在模型无关套利（S = {Ω}）等价于存在一个鞅测度，而不存在开放套利（S = 开集）等价于存在全支撑鞅测度，通过一种新颖的滤子扩张和通用聚合器构造实现。

ABSTRACT

In a model independent discrete time financial market, we discuss the richness of the family of martingale measures in relation to different notions of Arbitrage, generated by a class $\mathcal{S}$ of significant sets, which we call Arbitrage de la classe $\mathcal{S}$. The choice of $\mathcal{S}$ reflects into the intrinsic properties of the class of polar sets of martingale measures. In particular: for S=$Ω$ absence of Model Independent Arbitrage is equivalent to the existence of a martingale measure; for $\mathcal{S}$ being the open sets, absence of Open Arbitrage is equivalent to the existence of full support martingale measures. These results are obtained by adopting a technical filtration enlargement and by constructing a universal aggregator of all arbitrage opportunities. We further introduce the notion of market feasibility and provide its characterization via arbitrage conditions. We conclude providing a dual representation of Open Arbitrage in terms of weakly open sets of probability measures, which highlights the robust nature of this concept.

研究动机与目标

• 开发一个统一框架，用于刻画在无参考概率测度假设下的离散时间市场中的套利行为，以应对模型不确定性。
• 研究不同显著集类（S）如何影响鞅测度的丰富性及极集的结构。
• 引入并形式化‘市场可行性’的概念，并通过套利条件对其进行刻画。
• 通过概率测度的弱开集，提供开放套利的对偶表示，突出其稳健性。
• 建立一个通用聚合器，捕捉不同集合类S下的所有套利机会，从而实现对无套利条件的统一处理。

提出的方法

• 定义显著集类S，以生成不同的套利概念，包括模型无关套利（S = {Ω}）和开放套利（S = 开集）。
• 通过滤子扩张技术，构建所有套利机会的通用聚合器，从而能够分析所有可能策略下的套利行为。
• 利用概率测度空间上的拓扑σ(𝐏, C_b)分析测度的弱收敛性与支撑性质。
• 应用弱拓扑与凸分析的结果，特别是狄拉克测度凸组合的可分性，以刻画测度集的闭包与可分性。
• 利用测度的支撑是所有全测度闭集的交集这一事实，证明支撑位于闭集D中的测度集在弱拓扑下是闭集。
• 建立开放套利与存在一个弱开测度集之间的等价关系，使得策略在状态的开集上产生正收益。

实验结果

研究问题

• RQ1 显著集类S的选择如何影响极集的结构以及鞅测度的存在性？
• RQ2 模型无关套利的缺失与单一鞅测度存在的精确关系是什么？
• RQ3 在何种条件下，开放套利的缺失可推出全支撑鞅测度的存在？
• RQ4 如何在模型无关设定下构造套利机会的通用聚合器？
• RQ5 开放套利的对偶表征如何通过概率测度的弱开集来表达，其稳健性体现在何处？

主要发现

• 不存在模型无关套利（S = {Ω}）等价于价格过程S存在至少一个鞅测度。
• 不存在开放套利（S = 开集）等价于存在一个全支撑鞅测度，即支撑等于整个状态空间Ω的鞅测度。
• 通过滤子扩张构造了套利机会的通用聚合器，使得能够同时分析不同集合类S下的所有套利策略。
• 在σ(𝐏, C_b)拓扑下，支撑位于闭集D中的概率测度集是弱闭的，这是证明对偶表示的关键技术结果。
• 开放套利的对偶表示表明其具有稳健性：它对应于存在一个非空弱开测度集，使得策略在状态的开集上产生正收益。
• 该构造确保：若策略H为开放套利，则其正收益集𝒱_H^+包含一个开集，且其零集的补集不是稠密的，这意味着存在一个弱开测度集，使得H以正概率产生正收益。