[论文解读] Are There Sixth Order Three Dimensional PNS Hankel Tensors

Guoyin Li, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文研究六阶三维Hankel张量是否可能存在正定半定（PSD）但非平方和（SOS）的张量，即PNS张量。通过分析关键张量类别的理论性质，并对数千个随机生成的PSD Hankel张量进行广泛数值测试，未发现任何PNS实例，由此提出猜想：此类张量不存在——这意味着该类张量的PSD检测问题可能可通过半定规划（SDP）求解。

ABSTRACT

Are there positive semi-denite (PSD) but not sums of squares (SOS) Hankel tensors? If the answer to this question is "no", then the problem for determining an even order Hankel tensor is PSD or not can be solved in polynomial-time. By Hilbert, one of the cases of low order (degree) and dimension (number of variables), in which PSD non-SOS (PNS) symmetric tensors (homogeneous polynomials) exists, is of order six and dimension three. The famous Motzkin polynomial falls into this case. In this paper, we study the existence problem of sixth order three dimensional PNS Hankel tensors. We examine various important classes of sixth order three dimensional Hankel tensors. No PNS Hankel tensors are found in these cases. We then randomly generate several thousands of sixth order three dimensional Hankel tensors and make them PSD by adding adequate multiple of a xed sixth order three dimensional positive definite Hankel tensor. Again, still no PNS Hankel tensors are found. Thus, we make a conjecture that there are no sixth order three dimensional PNS Hankel tensors. If this conjecture turns out to be true, this implies that the problem for determining a given sixth order three dimensional Hankel tensor is PSD or not can be solved by a semi-definite linear programming problem.

研究动机与目标

• 确定六阶三维Hankel张量是否可以为正定半定（PSD）但非平方和（SOS），即所谓的PNS张量。
• 探讨此类PNS Hankel张量的存在是否意味着该类张量的PSD检测问题为NP难。
• 检查特定六阶三维Hankel张量类别的PNS行为。
• 通过数值实验验证不存在PNS Hankel张量的猜想。
• 评估通过半定规划（SDP）实现PSD检测问题多项式时间可解性的意义。

提出的方法

• 分析六阶三维Hankel张量的结构化类别，以识别潜在的PNS实例。
• 随机生成数千个六阶三维Hankel张量，以检验其PSD与SOS性质。
• 应用一个固定的正定Hankel张量，将随机生成的张量调整至PSD锥内。
• 使用半定规划验证PSD状态及SOS分解。
• 系统比较所有测试张量的PSD与SOS条件。
• 基于所有测试案例中均未发现PNS张量，提出一个猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在六阶三维Hankel张量，其为正定半定但非平方和（PNS）？
• RQ2 若此类PNS Hankel张量不存在，是否意味着该类张量PSD状态的判定问题可多项式时间求解？
• RQ3 已知可在六次齐次、三维空间中构造出PNS对称张量的Motzkin型构造，能否在Hankel张量框架中实现？
• RQ4 Hankel张量的结构约束是否足以排除此特定情况下的PNS行为？
• RQ5 对数千个随机生成的Hankel张量进行数值测试，能否提供强有力的经验证据，否定此类张量的存在？

主要发现

• 在所有分析的结构化Hankel张量类别中，均未发现六阶三维PNS Hankel张量。
• 在通过添加一个固定正定Hankel张量使数千个随机生成的六阶三维Hankel张量变为PSD后，无一例表现出PNS行为。
• 在多种分析与数值测试案例中均未发现PNS张量，支持了此类张量在该类别中不存在的猜想。
• 结果表明，六阶三维Hankel张量的正定半定性可通过半定规划验证。
• 若得到证实，这将意味着该类张量的PSD检测问题为多项式时间可解。
• 研究结果与Hilbert在六次齐次、三维空间中关于PNS张量的经典结论一致，但将其拓展至Hankel张量结构。