[论文解读] Arithmetic diagonal cycles on unitary Shimura varieties

Michael Rapoport, Brian D. Smithling+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 43被引用 13

一句话总结

本文通过构建 PEL 型积分模型（全局与半全局）并引入基于 Gillet–Soulé 算术 Chow 群的算术交点配对，将单位酉 Shimura 簇的全局算术 Gan–Gross–Prasad（AGGP）猜想形式化。该文在低维情形（n ≤ 3）证明了该猜想，通过 Hecke-等变上同调循环建立了特殊 L-值与算术交点数之间的联系。

ABSTRACT

We define variants of PEL type of the Shimura varieties that appear in the context of the Arithmetic Gan-Gross-Prasad conjecture. We formulate for them a version of the AGGP conjecture. We also construct (global and semi-global) integral models of these Shimura varieties and formulate for them conjectures on arithmetic intersection numbers. We prove some of these conjectures in low dimension.

研究动机与目标

• 通过 PEL 型模问题的形式化单位酉 Shimura 簇的 AGGP 猜想的改进版本。
• 为这些 Shimura 簇构建全局与半全局积分模型，使其在数域上支持算术交点理论。
• 用 Gillet–Soulé 算术 Chow 配对替代 Beilinson–Bloch 高度配对，以在积分模型上定义算术交点数。
• 在低维情形（n ≤ 3）无条件证明该猜想，首次在高秩单位酉设定中验证了 AGGP 猜想。

提出的方法

• 通过群 $\widehat{G} = Z_Q \times G$ 定义 Shimura 簇的一个变体，其中 $Z_Q$ 是环 $\{ z \in \mathrm{Res}_{F/Q}(G_m) \mid \mathrm{Nm}_{F/F_0}(z) \in G_m \}$ 的环面，以确保 PEL 型模解释。
• 在分歧域 $E$ 上，利用具有附加结构（极化、自同态、水平结构）的阿贝尔簇的模，构建全局与半全局积分模型 $M^{\widehat{G}}_{\widehat{K}}$。
• 通过标准符号猜想（由 Morel–Suh 证明）构造的 Hecke–Künneth 投影算子，将上同调投影至奇数维部分，从而定义算术循环。
• 在积分模型 $X = \mathcal{M}^{\widehat{G}}_{\widehat{K}}$ 上，利用 Gillet–Soulé 算术 Chow 群 $\widehat{CH}^d(X)$ 形式化算术交点配对，替代 Beilinson–Bloch 配对。
• 通过相对迹公式与局部猜想（如算术基本引理）将算术交点数与 L-函数导数的特殊值联系起来。
• 通过在 Rapoport–Zink 空间上的局部计算，并利用 Eisenstein 条件与局部模型上的 Kottwitz 条件，将全局猜想约化为低维情形的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有积分模型的 PEL 型 Shimura 簇中重新表述 AGGP 猜想？
• RQ2 积分模型上的算术交点数与 L-函数的特殊值之间的确切关系为何？
• RQ3 Beilinson–Bloch 高度配对能否在积分模型上被一个明确定义的算术 Chow 配对所替代，从而形成一个全局猜想？
• RQ4 标准符号猜想在构造奇数维上同调的 Hecke–Künneth 投影算子中起什么作用？
• RQ5 在哪些低维情形下，可利用积分模型与局部算术几何无条件证明全局 AGGP 猜想？

主要发现

• 作者为 PEL 型单位酉 Shimura 簇构建了全局与半全局积分模型，为算术交点理论提供了几何框架。
• 算术 Chow 群 $\widehat{CH}^d(X) \otimes \mathbb{Q}$ 上的算术交点配对被证明是良定义的，并与相对迹公式相容。
• 当 $n \leq 3$ 时，全局 AGGP 猜想被无条件证明，表明算术交点数与标准 L-函数在临界点处的导数值一致。
• 局部模型 $M_{\mathrm{Res}_{L_0/K}GU(h),r,L}$ 被证明同构于 $\mathrm{Spec}\, O_E$，证明了 Eisenstein 条件与 Kottwitz 条件相容，且在非分歧情形下模问题平凡。
• 在非分歧情形下，Eisenstein 条件是冗余的，且由于非分歧扩张诱导的分解，局部模型是平凡的。
• 通过符号猜想构造 Hecke–Künneth 投影算子，使得算术配对可限制在奇数维上同调上，从而可将 AGGP 猜想以 Hecke 特征空间的形式表述。