[论文解读] The supersingular locus of unitary Shimura varieties with exotic good reduction

Haifeng Wu|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 13

一句话总结

本文使用拉波波特-津克空间与仿射德利涅-卢斯蒂格簇，对在分歧素数处具有异常良好约化性质的酉志村簇中的奇异点集给出了一个群论描述。研究结果表明，奇异点集是按布饶特-蒂茨复形分层的德利涅-卢斯蒂格簇的并集，其维数为 $[\frac{n-1}{2}]$，且不可约分支由 $\mathbb{I}(\mathbb{Q})\backslash(J(\mathbb{Q}_p)/K_{\mathrm{max}} \times \mathbb{G}(\mathbb{A}^{p}_f)/C^p)$ 中的双陪集参数化。

ABSTRACT

In this paper, we use a group-theoretic approach to give a concrete description of the geometric structure of the supersingular locus of unitary Shimura varieties with exotic good reduction. This approach also is a more uniform way to prove results of this form obtained previously by, for example, Vollaard-Wedhorn and Rapoport-Terstiege-Wilson.

研究动机与目标

• 给出在分歧素数处具有异常良好约化性质的酉志村簇中奇异点集的明确几何描述。
• 通过群论框架统一并推广关于科克斯eter型志村簇基本点集的先前结果。
• 为 PEL 型志村簇中科克斯eter型基本点集的分析建立统一方法。
• 证明奇异点集是纯维的，并且其分层由德利涅-卢斯蒂格簇构成，其闭包关系由布饶特-蒂茨复形控制。

提出的方法

• 利用拉波波特-津克空间与 $p$-进统一化方法，将奇异点集与仿射德利涅-卢斯蒂格簇联系起来。
• 通过楔积条件与旋量条件构造一个拓扑平坦的局部模型，以定义真实的积分模型 $\mathcal{A}^e$。
• 应用迪尤当尼埃理论，建立拉波波特-津克空间在 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上的点与仿射德利涅-卢斯蒂格簇之间的双射。
• 利用卢斯蒂格的分划与关键引理，将群侧的德利涅-卢斯蒂格簇与 RZ 侧的开 BT 分层（作为概形）对应起来。
• 利用德利涅-卢斯蒂格簇闭包的正规性，通过布饶特-蒂茨复形描述闭包关系。
• 利用 $p$-进统一化定理，证明奇异点集同构于约化拉波波特-津克空间的有限个商的不相交并。

实验结果

研究问题

• RQ1 在分歧素数处具有异常良好约化性质的酉志村簇中，奇异点集的几何结构是什么？
• RQ2 如何使用群论方法在不同情形下统一描述此类志村簇的基本点集？
• RQ3 在单位群 $\mathrm{GU}(1,n-1)$ 的志村簇 $\mathrm{Sh}_{C^p}(\mathbb{G},h)$ 中，于分歧素数处奇异点集的维数是多少？
• RQ4 奇异点集的不可约与连通分支如何通过算术数据参数化？
• RQ5 布饶特-蒂茨复形在控制奇异点集中各分层之间闭包关系方面起什么作用？

主要发现

• 奇异点集 $\mathcal{A}^{\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}}$ 是纯维的，其维数为 $[\frac{n-1}{2}]$。
• 奇异点集 $\mathcal{A}^{\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}}$ 的不可约分支与双陪集 $\mathbb{I}(\mathbb{Q})\backslash(J(\mathbb{Q}_p)/K_{\mathrm{max}} \times \mathbb{G}(\mathbb{A}^{p}_f)/C^p)$ 一一对应。
• 奇异点集 $\mathcal{A}^{\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}}$ 的连通分支由 $\mathbb{I}(\mathbb{Q})\backslash(J(\mathbb{Q}_p)/J^0 \times \mathbb{G}(\mathbb{A}^{p}_f)/C^p)$ 参数化，其中 $J^0$ 是具有平凡科特维茨不变量的元素构成的子群。
• 奇异点集同构于有限个商的不相交并 $\coprod_{i=1}^m \Gamma_i \backslash \mathcal{N}^{e}_{\mathrm{red}}$，通过 $p$-进统一化态射实现。
• 当 $n$ 为偶数时，真实积分模型 $\mathcal{A}$ 关于 $\mathcal{O}_{E_v}$ 是平坦的，且此时 $\mathcal{A}^e = \mathcal{A}$。
• 奇异点集 $\mathcal{A}^{\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}}$ 与 $\mathcal{A}^e$ 的约化特殊纤维重合，即 $\mathcal{A}^{\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}} = \mathcal{A}^{e,\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}}$。