[论文解读] Around the Mordell-Lang and Manin-Mumford conjectures in positive characteristic

Cyrille Corpet|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文证明，在正特征情况下，曼宁-穆尔弗雷德猜想蕴含形式幂级数域上半阿贝尔簇的莫代尔-朗猜想。通过在离散赋值环上的积分模型与喷射簇（jet schemes）的研究，作者证明：若在平移后，扭点在子簇中不是齐次稠密的，则其与有限生成子群的p-余部分的交集也不可能是稠密的——从而在此设定下由曼宁-穆尔弗雷德猜想推出莫代尔-朗猜想。

ABSTRACT

We give a complete proof for the implication from the Manin-Mumford conjecture to the Mordell-Lang conjecture in positive characteristic, using integral models of semi-abelian varieties over a ring of formal power series, and the machinery of jet schemes.

研究动机与目标

• 建立正特征下曼宁-穆尔弗雷德猜想对形式幂级数域上半阿贝尔簇蕴含莫代尔-朗猜想的推导关系。
• 提供一种完全代数几何的莫代尔-朗猜想证明，避免早期证明中使用的模型论方法。
• 扩展罗塞尔（Rössler）的先前结果，消除对基域与子群结构的限制。
• 利用形式幂级数环上半阿贝尔簇的积分模型与喷射簇，分析扭点与可除点的稠密性。

提出的方法

• 在具有有限剩余域的完备离散赋值环上构造半阿贝尔簇的积分模型。
• 应用喷射簇与临界点理论，分析形式邻域中扭点与可除点的行为。
• 利用推论1.2中的$ζ$-函数，将模$p$的幂次提升的点与喷射空间构造联系起来。
• 将例外集$\operatorname{Exc}^\alpha({\mathcal{X}}^{+Q})$定义为$\mathcal{X}^{+Q}$中可提升至喷射簇中$p^\alpha$-扭点的点的集合。
• 在扭点在平移后不稠密的假设下，证明例外集为真子概形。
• 利用$\widetilde{\mathcal{A}}(\widetilde{S})$上的$R$-拓扑的紧致性，对所有$Q \in \Gamma$导出例外集的统一有界指数$\alpha$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，曼宁-穆尔弗雷德猜想是否蕴含形式幂级数域上半阿贝尔簇的莫代尔-朗猜想？
• RQ2 莫代尔-朗猜想能否仅通过代数几何工具证明，而无需使用模型论技术？
• RQ3 是否存在一个统一的有界指数$\alpha$，使得对所有$Q$属于有限生成子群$\Gamma$，例外集$\operatorname{Exc}^\alpha({\mathcal{X}}^{+Q})$均为真子概形？
• RQ4 能否通过喷射簇与积分模型的特殊纤维结构，控制$X \cap \Gamma'$的稠密性？

主要发现

• 在正特征下，莫代尔-朗猜想可由曼宁-穆尔弗雷德猜想通过约化至形式幂级数域推出。
• 证明构造了一个统一的有界指数$\alpha$，使得对所有$Q \in \Gamma$，有$\operatorname{Exc}^\alpha({\mathcal{X}}^{+Q}) \subsetneq {\mathcal{X}}^{+Q}$，从而保证例外集为真子概形。
• 若对任意域扩张$L'/L$与任意$Q \in A(L')$，均有$X^{+Q} \cap \operatorname{Tor}(A(L'))$在$X^{+Q}$中不齐次稠密，则$X \cap \Gamma'$在$X$中也不齐次稠密，此结论在给定假设下成立。
• 该证明避免使用模型论，提供了一种完全基于代数几何的论证，利用喷射簇与$\overline{\mathbb{F}}_q((t))$上的积分模型。
• 有限个代表元$Q_1, \dots, Q_k$构成$\Gamma' / p^\alpha \Gamma'$的代表集，足以通过有限个真子概形的平移覆盖$X \cap \zeta(\Gamma')$。
• 由于$X \cap \Gamma'$的齐次闭包包含于有限个真子概形的并集中，其维数严格小于$\dim X$。