[论文解读] The Uniform Mordell-Lang Conjecture

Ziyang Gao, Tangli Ge+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文证明了在阿贝尔簇中子簇的统一Mordell–Lang猜想，建立了关于有限秩子群与子簇交点中理性点数量的统一有界性，该有界性不依赖于阿贝尔簇的Faltings高度。证明依赖于广义的新间隙原理、Hilbert簇以及等分布技术，得到了Mordell–Lang分解中有限集 $ S $ 大小的界 $ c(g, \deg_L X)^{\mathrm{rk}\Gamma + 1} $。

ABSTRACT

The Mordell--Lang conjecture for abelian varieties states that the intersection of an algebraic subvariety $X$ with a subgroup of finite rank is contained in a finite union of cosets contained in $X$. In this article, we prove a uniform version of this conjecture, meaning that that the number of cosets necessary does not depend on the ambient abelian variety. To achieve this, we prove a general gap principle on algebraic points that extends the gap principle for curves embedded into their Jacobians, previously obtained by Dimitrov--Gao--Habegger and Kühne. Our new gap principle also implies the full uniform Bogomolov conjecture in abelian varieties.

研究动机与目标

• 证明阿贝尔簇中子簇的统一Mordell–Lang猜想，提供交点中理性点数量的统一有界性，该有界性针对有限秩子群。
• 消除有界性对Faltings高度 $ h_{\mathrm{Fal}}(A) $ 和度数 $ \deg_L A $ 的依赖，仅依赖于亏格 $ g $ 和 $ \deg_L X $。
• 通过Hilbert簇和非退化性技术，将新间隙原理从雅可比簇中的曲线推广至阿贝尔簇的任意子簇。
• 作为方法框架的副产品，建立统一Bogomolov猜想。

提出的方法

• 使用Masser的专门化论证将问题约化到 $ F = \overline{\mathbb{Q}} $ 的情形。
• 应用Rémond的Vojta和Mumford不等式的定量版本，以控制高度和度数。
• 通过Hilbert簇和Poincaré双扩张构造非退化子簇，以确保有限性并控制极化类型。
• 在Mordell–Weil格 $ \Gamma \otimes \mathbb{R} $ 中使用改进的球体打包论证，将新间隙原理推广至任意子簇。
• 利用等分布定理和高度不等式，控制Mordell–Lang分解中少量点的数量。
• 通过Grothendieck关于有界Hilbert多项式的定理，确保Hilbert簇的有限性，从而实现在族中的一致有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在任意子簇（而不仅是雅可比簇中的曲线）上证明统一Mordell–Lang猜想？
• RQ2 是否可能在统一有界性中消除对 $ \deg_L A $ 和 $ h_{\mathrm{Fal}}(A) $ 的依赖？
• RQ3 能否通过Hilbert簇和非退化性技术，将新间隙原理从曲线情形推广至任意子簇？
• RQ4 在相同统一有界性条件下，统一Bogomolov猜想是否对阿贝尔簇中的子簇成立？
• RQ5 Mordell–Lang分解中该有界性对子群 $ \Gamma $ 的秩和 $ X $ 的度数的最优依赖关系是什么？

主要发现

• 本文证明了定理1.1：$ \#S \leq c(g, \deg_L X)^{\mathrm{rk}\Gamma + 1} $，其中常数 $ c $ 仅依赖于 $ g $ 和 $ \deg_L X $，不依赖于 $ \deg_L A $ 和 $ h_{\mathrm{Fal}}(A) $。
• 作为副产品，统一Bogomolov猜想得以证明，确认了 $ X(F) \cap \Gamma $ 中非扭点的Néron–Tate高度存在统一下界。
• 广义的新间隙原理得以建立，通过Hilbert簇和非退化族，将[ DGH20b, Küh21 ]的方法从曲线推广至任意子簇。
• 证明通过[ Gao20, Thm.10.1 ]在Hilbert簇中构造了非退化子簇，从而控制了族的几何结构并确保了极化类型的有限性。
• 通过将情形约化为 $ X $ 生成 $ A $ 的情况，使得 $ \deg_L A $ 可用 $ g $ 和 $ \deg_L X $ 表示，从而证明了该有界性在所有固定亏格和度数的阿贝尔簇与子簇中的一致性。
• 最终有界性形式为 $ c^{\mathrm{rk}\Gamma + 1} $，其中 $ c $ 仅依赖于 $ g $ 和 $ \deg_L X $，从而在一般情形下完全确认了David–Philippon与Mazur的猜想。