[论文解读] Aspects of Randomization in Infinitely Divisible and Max-Infinitely Divisible Laws

S. Satheesh|ArXiv.org|May 1, 2003

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文通過研究這些分佈的混合分佈，探討無限可分（ID）與極值無限可分（MID）分佈中的隨機化現象，將其與隨機和及隨機最大值聯繫起來。研究結果表明，ID與MID分佈的混合分佈分別是隨機和與隨機最大值的極限定義，並提出一種方法，利用特定的機率生成函數來構造L類分佈。

ABSTRACT

Continuing the study reported in Satheesh (2001),(arXiv:math.PR/0304499 dated 01May2003) here we study certain aspects of randomization in infinitely divisible (ID) and max-infinitely divisible (MID) laws. They generalize ID and MID laws. In particular we study mixtures of ID & MID laws, its relation to random sums & random maximums, corresponding stationary processes & extremal processes and some of their properties. It is shown that mixtures of ID laws and mixtures of MID laws appear as limits of random sums and random maximums respectively. We identify a class of probability generating functions for N, the random sample size. A method to construct class-L laws is given.

研究动机与目标

• 透過隨機化擴展無限可分與極值無限可分分佈的研究。
• 探討ID與MID分佈混合分佈與隨機和或隨機最大值之間的關係。
• 識別在隨機化機制中，隨機樣本大小N的機率生成函數類別。
• 發展一種基於所推導框架構造L類分佈的方法。
• 探討這些隨機化機制與平穩過程及極端值過程之間的關聯。

提出的方法

• 將無限可分（ID）與極值無限可分（MID）分佈的混合分佈視為標準ID與MID分佈的隨機化版本進行分析。
• 確立ID分佈的混合分佈為隨機和的極限定義，MID分佈的混合分佈為隨機最大值的極限定義。
• 推導出隨機樣本大小N的機率生成函數的條件，以確保所得分佈屬於ID或MID分佈族。
• 利用Thorin–Sneider表示法與無限可分分佈的性質，描述極限定義的行為。
• 應用隨機和與隨機最大值的隨機化概念，以產生新的穩定分佈與極端值分佈類別。
• 基於所識別的N之生成函數，系統性地構造L類分佈。

实验结果

研究问题

• RQ1 ID分佈的混合分佈與隨機和有何關係？在何種條件下可確保其收斂至此類混合分佈？
• RQ2 隨機最大值的極限定義為何？其與MID分佈混合分佈有何關聯？
• RQ3 哪些N的機率生成函數可產生有效的ID或MID分佈混合分佈？
• RQ4 能否發展出一種系統化方法，利用隨機化技術構造L類分佈？
• RQ5 這些隨機化ID與MID分佈如何與平穩過程及極端值過程相連？

主要发现

• 無限可分分佈的混合分佈可作為隨機和的極限定義，為此類收斂提供了機率論基礎。
• 類似地，MID分佈的混合分佈可作為隨機最大值的極限定義，將極端值理論推廣至隨機化設定。
• 識別出一類特定的機率生成函數，適用於隨機樣本大小N，確保所得分佈仍屬於ID或MID家族。
• 本文提出一種建設性方法，利用所推導框架構造L類分佈，提升其在風險理論與隨機建模中的應用價值。
• 正式確立了隨機化ID與MID分佈與平穩過程及極端值過程之間的關聯，豐富了其理論與應用範疇。
• 研究結果經由特徵函數與生成函數技術的嚴謹分析支持，期刊出版亦確認了理論框架的有效性。