[论文解读] Associated graded of Hodge modules and categorical sl_2 actions

Sabin Cautis, C. A. F. Dodd+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 3

一句话总结

该论文通过 Grassmannians 上 D_h-模的范畴化 sl₂ 作用，计算了开嵌入到互补 Grassmannian 乘积中的 Hodge 模上推的关联分次。关键结果将关联分次识别为从余切丛的局部闭子集上推的线丛，其自然的权重滤过与轨道分量相关。

ABSTRACT

One of the most mysterious aspects of Saito's theory of Hodge modules are the Hodge and weight filtrations that accompany the pushforward of a Hodge module under an open embedding. In this paper we consider the open embedding in a product of complementary Grassmannians given by pairs of transverse subspaces. The push-forward of the structure sheaf under this open embedding is an important Hodge module from the viewpoint of geometric representation theory and homological knot invariants. We compute the associated graded of this push-forward with respect to the induced Hodge filtration as well as the resulting weight filtration. The main tool is a categorical $\sl_2$ action on the category of $\D_h$-modules on Grassmannians. Along the way we also clarify the interaction of kernels for $\D_h$-modules with the associated graded functor. Both of these results may be of independent interest.

研究动机与目标

• 计算开嵌入 j: U → G(k,N) × G(N−k,N) 下 Hodge 模上推 j_*O_U 的关联分次，其中 U 参数化互补子空间的横截对。
• 理解该上推诱导的 Hodge 滤过与权重滤过的结构，尤其在几何表示理论与同调纽结不变量的背景下。
• 通过关联分次函子建立 D_h-模上的范畴化 sl₂ 作用与 Saito 混合 Hodge 模理论之间的联系。
• 将计算推广至其他子优旗簇（包括拉格朗日 Grassmannian 与偶数维二次曲面），并为余切丛上的凝聚层提出类似结果的猜想。

提出的方法

• 利用在 Grassmannians 上 D_h-模范畴上的范畴化 sl₂ 作用，通过支撑在关联对应余法丛上的核构造。
• 应用关联分次函子 gr: D_h-mod → O_{T*X}-mod，将带滤过的 D-模与余切丛上的凝聚层联系起来。
• 分析 D_h-模核与关联分次函子之间的相互作用，阐明滤过在上推下的行为。
• 利用 Riemann-Hilbert 对应与 faisceaux-fonctions 对应，将构造层与 D-模及 Hodge 模联系起来。
• 研究子优抛物子群 G/P × G/Q 上的 G-轨道结构，识别出维度递减的轨道序列 Z₀, ..., Z_k。
• 猜想 Hodge 模上推的关联分次为这些轨道闭包上平移的 IC-层的直和，其滤过由余维数索引。

实验结果

研究问题

• RQ1 在互补 Grassmannian 乘积中，U 为横截对的开子集时，Hodge 滤过下 Hodge 模 j_*O_U 的关联分次结构为何？
• RQ2 该关联分次上的权重滤过如何与余切丛按 G-轨道的分层相关联？
• RQ3 能否利用 Grassmannians 上 D_h-模的范畴化 sl₂ 作用来计算 Hodge 模上推的关联分次？
• RQ4 在此背景下，D_h-模的核与关联分次函子之间存在何种关系？
• RQ5 该结果能否推广至其他子优旗簇，如拉格朗日 Grassmannian 或偶数维二次曲面？

主要发现

• Hodge 模 j_*O_U 的关联分次同构于从 X = G(k,N) × G(N−k,N) 的余切丛的局部闭子集上推的线丛。
• gr(G(j_*O_U)) 上的权重滤过自然地实现为以 G-轨道 Z_s 在 X 中的余维数为索引的滤过，其中 gr^W_s 被支撑在 Z_s 的闭包上。
• Hodge 模底层 D_h-模的关联分次被识别为平移 IC-层的直和：gr^W_s(j_*δ_{Z₀,m}) ≅ IC_{Z̄_s,m}{s}，其中 s = 0,…,k。
• 诱导 G/P 与 G/Q 上 D_h-模范畴等价的核，被证明在关联分次侧也诱导等价，且其关联分次核为从余法丛的正规化上推的线丛。
• 对于子优旗簇，T^*G/P ×_g T^*G/Q 的不可约分量为 G-轨道 Z_s 的余法丛闭包，且关联分次核预期为从该流形的稠密开子集上推的线丛。
• 提出了猜想：Hodge 模上推的关联分次为平移 IC-层的直和，且 O_{T^*X}-侧的核为从余法丛正规化上推的线丛。