[论文解读] Asymptotics for Tur\'an numbers of cycles in 3-uniform linear hypergraphs

Beka Ergemlidze, Ervin Győri+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文確立了三 uniform 線性超圖中 5-環 (C5) 的漸近 Turán 數，證明其漸近值為 $\frac{1}{3\sqrt{3}}n^{3/2}$。本文提出一種新構造與證明技術，顯示線性 Turán 數對於 C4 和 {C3, C4} 漸近相等，並透過圍長約束將三 uniform 超圖中奇數長度線性環的線性 Turán 數與極值圖論聯繫起來。

ABSTRACT

Let $\mathcal{F}$ be a family of $3$-uniform linear hypergraphs. The linear Tur\'an number of $\mathcal F$ is the maximum possible number of edges in a $3$-uniform linear hypergraph on $n$ vertices which contains no member of $\mathcal{F}$ as a subhypergraph. In this paper we show that the linear Tur\'an number of the five cycle $C_5$ (in the Berge sense) is $\frac{1}{3 \sqrt3}n^{3/2}$ asymptotically. We also show that the linear Tur\'an number of the four cycle $C_4$ and $\{C_3, C_4\}$ are equal asmptotically, which is a strengthening of a theorem of Lazebnik and Verstra\"ete. We establish a connection between the linear Tur\'an number of the linear cycle of length $2k+1$ and the extremal number of edges in a graph of girth more than $2k-2$. Combining our result and a theorem of Collier-Cartaino, Graber and Jiang, we obtain that the linear Tur\'an number of the linear cycle of length $2k+1$ is $\Theta(n^{1+\frac{1}{k}})$ for $k = 2, 3, 4, 6$.

研究动机与目标

• 確立三 uniform 線性超圖中 5-環 (C5) 的線性 Turán 數的漸近行為。
• 強化工作者先前的結果，顯示即使在不考慮 C3-自由條件下，C4 的線性 Turán 數仍與 {C3, C4} 的線性 Turán 數漸近相等。
• 建立三 uniform 超圖中奇數長度線性環的線性 Turán 數與高圍長圖中邊數極值數的深刻連結。
• 針對 $k = 2,3,4,6$，提供線性環長度 $2k+1$ 的線性 Turán 數的緊緻漸近界，證明其為 $\Theta(n^{1+1/k})$。

提出的方法

• 利用不相交的頂點集合 $L_t$、$R_t$ 和一個中心集合 $B$，構造一個不含 C5 的三 uniform 線性超圖，其超邊形式為 $\{v_{i,j}, l_t^i, r_t^j\}$，其中 $v_{i,j} \in B$。
• 透過線性超圖中路徑與輔助二分圖 $G$ 中邊之間的雙射，將超圖環與圖環關聯起來。
• 應用極值圖論結果：假設一個 $C_{2k-2}$-自由的二分圖 $G$ 擁有 $\Omega(z^\alpha)$ 條邊，從而推導出超圖 Turán 數的下界。
• 透過在 $G$ 中構造迴路的方式進行反證法，證明若 $G$ 中無 $C_{2k-2}$-環，則超圖中亦無線性 $C_{2k+1}$-環。
• 結合此構造與已知的極值圖論界（例如 Collier-Cartaino 等人的結果），推導出 $\mathrm{ex}^\mathrm{lin}_3(n, C_{2k+1})$ 的緊緻漸近界。
• 利用奇數長度線性環確保輔助圖中存在非空迴路，此點對反證法至關重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 三 uniform 線性超圖中 5-環 $C_5$ 的線性 Turán 數的漸近增長率為何？
• RQ2 即使在移除 C3-自由條件的情況下，C4 的線性 Turán 數是否仍與 {C3, C4} 的線性 Turán 數漸近相等？
• RQ3 三 uniform 超圖中奇數長度線性環的線性 Turán 數與極值圖論之間有何關係，特別是與高圍長圖中邊數極值的關係？
• RQ4 能否透過與極值圖論的連結，確定 $k = 2,3,4,6$ 時 $\mathrm{ex}^\mathrm{lin}_3(n, C_{2k+1})$ 的漸近行為？

主要发现

• C5 的線性 Turán 數漸近為 $\frac{1}{3\sqrt{3}}n^{3/2} + O(n)$，此結果透過新構造與創新上界證明確立。
• C4 的線性 Turán 數漸近等於 {C3, C4} 的線性 Turán 數，即 $\frac{1}{6}n^{3/2} + O(n)$，顯示 C3-自由條件對漸近界而言並非必要。
• 建立了一個強烈連結：長度為 $2k+1$ 的線性環的線性 Turán 數與 $C_{2k-2}$-自由二分圖的極值邊數之間。
• 對於 $k = 2,3,4,6$，長度為 $2k+1$ 的線性環的線性 Turán 數為 $\Theta(n^{1+1/k})$，此結果透過超圖構造與已知極值圖論結果的結合推導而出。
• 證明依賴於從超圖中路徑在輔助二分圖中構造迴路，若超圖包含線性 $C_{2k+1}$-環，則該迴路必包含長度至多為 $2k-1$ 的環，進而導致矛盾。
• 此超圖構造與 Bollobás 和 Győri 所用的構造根本不同，儘管兩者對 $C_5$-自由超圖的漸近下界相同，但本構造的結構性更強（即線性性更明確），遠較其構造更為有序。