[论文解读] Average size of the 2-Selmer group of Jacobians of monic even hyperelliptic curves

Arul Shankar, Xiaoheng Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 7

一句话总结

该论文计算了在高度排序下，带有标记有理非魏尔斯特拉斯点的 ℚ 上首一偶数双曲椭圆曲线的雅可比簇的 2-塞尔默群的平均大小。利用轨道方法和等分布技术，证明该平均大小恰好为 6，从而得出这些雅可比簇的 Mordell-Weil 秩的平均值上界为 5/2，并表明在大亏格时，大多数此类曲线恰好有两个有理点。

ABSTRACT

In [5], Manjul Bhargava and Benedict Gross considered the family of hyperelliptic curves over $\Q$ having a fixed genus and a marked rational Weierstrass point. They showed that the average size of the 2-Selmer group of the Jacobians of these curves, when ordered by height, is 3. In this paper, we consider the family of hyperelliptic curves over $\Q$ having a fixed genus and a marked rational non-Weierstrass point. We show that when these curves are ordered by height, the average size of the 2-Selmer group of their Jacobians is 6. This yields an upper bound of 5/2 on the average rank of the Mordell-Weil group of the Jacobians of these hyperelliptic curves. Finally using an equidistribution result, we modify the techniques of [16] to conclude that as $g$ tends to infinity, a proportion tending to 1 of these monic even-degree hyperelliptic curves having genus $g$ have exactly two rational points - the marked point at infinity and its hyperelliptic conjugate.

研究动机与目标

• 确定在高度排序下，带有标记有理非魏尔斯特拉斯点的 ℚ 上首一偶数双曲椭圆曲线的雅可比簇的 2-塞尔默群的平均大小。
• 建立这些雅可比簇的 Mordell-Weil 群的平均秩的上界。
• 分析此类曲线在亏格 g → ∞ 时有理点的分布。
• 将 Bhargava 和 Gross 研究带有标记魏尔斯特拉斯点的曲线时所用方法，推广至非魏尔斯特拉斯情形。
• 利用等分布和局部-整体技术，证明大多数此类曲线恰好有两个有理点。

提出的方法

• 通过伽罗瓦上同调和几何轨道理论参数化整数表示的有理轨道。
• 利用二次线性系理论，将 2-塞尔默群解释为在表示空间中计数整数轨道。
• 构造基本域，并应用带截断的平均化技术，以控制轨道计数过程中的尖点。
• 应用平方自由筛法处理局部条件，确保全局计数的准确性。
• 利用测度的相容性和局部计算，控制具有指定局部性质的曲线的密度。
• 利用文献 [19] 中的等分布结果，证明当亏格增大时，有正比例的曲线恰好有两个有理点。

实验结果

研究问题

• RQ1 当按高度排序时，带有标记有理非魏尔斯特拉斯点的首一偶数双曲椭圆曲线的雅可比簇的 2-塞尔默群的平均大小是多少？
• RQ2 此类雅可比簇的 Mordell-Weil 群的平均秩与标记魏尔斯特拉斯点情形相比如何？
• RQ3 在大亏格 g 下，有多少比例的首一偶数双曲椭圆曲线恰好有两个有理点？
• RQ4 为何在非魏尔斯特拉斯情形下，2-塞尔默群的平均大小为 6，而在魏尔斯特拉斯情形下为 3？
• RQ5 能否利用等分布和夏皮罗型方法证明大多数此类曲线的有理点集达到最小？

主要发现

• 在高度排序下，带有标记有理非魏尔斯特拉斯点的首一偶数双曲椭圆曲线的雅可比簇的 2-塞尔默群的平均大小恰好为 6。
• 即使在对系数施加有限个同余条件所定义的任意子族中，该结果依然成立。
• 这些雅可比簇的 Mordell-Weil 群的平均秩至多为 5/2。
• 对于亏格 g ≥ 2 的此类曲线中正比例的曲线，其 2-塞尔默群大小为 6，且该上界是紧的。
• 当 g → ∞ 时，此类首一偶数双曲椭圆曲线中比例趋于 1 的曲线恰好有两个有理点：无穷远处的标记点及其双曲共轭点。
• 该结果证实了基于 100% 的此类曲线上，类 (∞′)−(∞) 在雅可比簇上关于 ℚ 不被 2 整除的启发性猜想。