[论文解读] Background independent geometry and Hopf cyclic cohomology

Alain Connes, Henri Moscovici|ArXiv.org|May 23, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用 23

一句话总结

本文提出了一种基于霍普夫循环上同调的背景无关几何框架，用于研究叶层上的横截指标理论，建立了非交换几何与量子引力之间的联系。该框架构建了控制横截几何的霍普夫代数 $χ_n$，并证明其循环上同调同构于盖尔范德-富克斯上同调，通过特征上链实现了局部指标公式的具体实现。

ABSTRACT

This is primarily a survey of the way in which Hopf cyclic cohomology has emerged and evolved, in close relationship with the application of the noncommutative local index formula to transverse index theory on foliations. Being Diff-invariant, the geometric framework that allowed us to treat the `space of leaves' of a general foliation provides a `background independent' set-up for geometry that could be of relevance to the handling of the the background independence problem in quantum gravity. With this potential association in mind, we have added some new material, which complements the original paper and is also meant to facilitate its understanding. Section 2 gives a detailed description of the Hopf algebra that controls the `affine' transverse geometry of codimension $n$ foliations, and Section 5 treats the relative version of Hopf cyclic cohomology in full generality, including the case of Hopf pairs with noncompact isotropy.

研究动机与目标

• 开发叶层空间的背景无关几何框架，与量子引力相关。
• 利用非交换几何解决叶层上拟椭圆微分算子的横截指标问题。
• 在横截几何背景下，建立霍普夫循环上同调与盖尔范德-富克斯上同调之间的联系。
• 将霍普夫循环上同调推广至相对情形，包括非紧致的稳定子群。
• 通过由谱不变量构造的特征上链，提供局部指标公式的几何实现。

提出的方法

• 将霍普夫代数 $\mathcal{H}_n$ 构造为余维 $n$ 叶层的横截标架丛的对称代数。
• 在标架丛上的光滑函数空间上定义 $\mathcal{H}_n$ 的标准模-代数表示。
• 通过谱不变量在 $\mathcal{H}_n$-模上引入不变迹，以生成特征上链。
• 应用普遍局部指标公式，通过黎曼 zeta 函数的留数和迭代交换子表达指标配对。
• 利用典范映射 $\Phi$ 将群上链提升为霍普夫循环上同调复形中的循环上链。
• 通过微分同胚的喷层提升下拉微分形式，推导出循环上链的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用霍普夫循环上同调计算叶层上拟椭圆算子的横截指标？
• RQ2 控制余维 $n$ 中横截几何的霍普夫代数 $\mathcal{H}_n$ 的精确代数结构是什么？
• RQ3 在绝对与相对情形下，霍普夫循环上同调与盖尔范德-富克斯上同调之间是否存在上同调同构？
• RQ4 相对霍普夫循环上同调能否推广至具有非紧致稳定子群的对，如 $({\mathcal{H}}_{n+1},\mathfrak{o}_{n,1})$？
• RQ5 该几何框架的背景无关性如何与量子引力中的背景无关性问题相关联？

主要发现

• 与横截几何相关的 $\mathcal{H}_n$-模的循环上同调在绝对与相对情形下均同构于盖尔范德-富克斯上同调。
• 在余维 1 情形下，戈比永-维类与横截基本类通过特征上链被具体实现为霍普夫-循环类。
• 局部指标公式通过包含迭代交换子与迪克曼迹的有限线性组合的局部上链实现。
• 典范映射 $\Phi$ 将群 1-上链 $C_{1,0}(gv)$ 变换为一个循环上链，其求值涉及 $\log\varphi'$ 的导数，从而编码了戈比永-维类。
• 体积形式 $gv$ 沿喷层映射 $\widetilde{\sigma}(1,\varphi)$ 的下拉得到一个与 $\frac{d}{dx}(\log\varphi') \, dt \wedge dx \wedge dy$ 成比例的 3-形式，该形式确定了循环上链。
• 所得循环上链在群代数的单位元处有支撑，其形式为 $\chi_\tau(\delta_1)(f^0 U_\varphi^*, f^1 U_{\varphi^{-1}}^*) = \int_{F^+\mathbb{R}} f^0 \cdot \widetilde{\varphi}^*(f^1) \cdot y \frac{d}{dx}(\log\varphi') \frac{dx \wedge dy}{y^2}$。