[论文解读] Balancing Relevance and Diversity in Online Bipartite Matching via Submodularity

John P. Dickerson, Karthik Abinav Sankararaman+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2018

Optimization and Search Problems参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文提出了在线子模二分图匹配（OSBM）问题，旨在面对随机到达的在线二分图时，通过最大化匹配边上的单调子模函数来实现目标。作者提出了两种新颖的算法——MMP-ALG 和 CR-ALG，实现了常数因子的竞争力比率，具备理论保证，并在预算加法和覆盖函数等场景中得到了实证验证。

ABSTRACT

In bipartite matching problems, vertices on one side of a bipartite graph are paired with those on the other. In its online variant, one side of the graph is available offline, while the vertices on the other side arrive online. When a vertex arrives, an irrevocable and immediate decision should be made by the algorithm; either match it to an available vertex or drop it. Examples of such problems include matching workers to firms, advertisers to keywords, organs to patients, and so on. Much of the literature focuses on maximizing the total relevance---modeled via total weight---of the matching. However, in many real-world problems, it is also important to consider contributions of diversity: hiring a diverse pool of candidates, displaying a relevant but diverse set of ads, and so on. In this paper, we propose the Online Submodular Bipartite Matching (\osbm) problem, where the goal is to maximize a submodular function $f$ over the set of matched edges. This objective is general enough to capture the notion of both diversity (\emph{e.g.,} a weighted coverage function) and relevance (\emph{e.g.,} the traditional linear function)---as well as many other natural objective functions occurring in practice (\emph{e.g.,} limited total budget in advertising settings). We propose novel algorithms that have provable guarantees and are essentially optimal when restricted to various special cases. We also run experiments on real-world and synthetic datasets to validate our algorithms.

研究动机与目标

• 解决传统在线二分图匹配的局限性，即仅关注总权重（相关性），通过在目标函数中引入多样性。
• 构建一个通用的在线匹配模型——OSBM，其目标是最大化匹配边上的单调子模函数，从而同时捕捉相关性与多样性。
• 设计针对 OSBM 问题的在线算法，提供可证明的竞争力比率，确保在随机到达情况下的性能保证。
• 在真实世界和合成数据集上验证所提算法，展示其在多种子模目标函数（如预算加法和覆盖函数）下的强大经验性能。

提出的方法

• 将问题建模为在线二分图匹配设置，其中离线顶点（U）固定，而在线顶点（V）在已知时间范围 T 内随机到达。
• 将目标定义为在匹配边集合上最大化一个单调子模函数 f，该函数推广了线性（相关性）和覆盖（多样性）函数。
• 提出两种算法：MMP-ALG（基于匹配优先级与子模边际收益）和 CR-ALG（基于线性规划松弛的竞争力比率分析）。
• 通过子模目标的线性规划松弛推导理论竞争力比率，其中包含到达率（rv）和单位容量约束（每个 u 最多匹配一次）。
• 应用子模优化与在线算法中的技术，包括使用分数线性规划解和舍入策略，以确保不可逆决策。
• 结合对偶拟合与随机舍入方法，将分数解转换为整数匹配，同时保持竞争力比率。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计一种在线算法，用于子模二分图匹配，在随机到达下实现常数因子的竞争力比率？
• RQ2 当目标函数同时捕捉相关性与多样性（如覆盖函数或预算加法函数）时，算法表现如何？
• RQ3 离线顶点容量（b）的变化对竞争力比率和经验性能有何影响？
• RQ4 在不同子模目标函数下，所提算法与标准启发式方法（如贪心算法和 NEG-CR）相比，在竞争力比率和鲁棒性方面表现如何？

主要发现

• 所提出的 MMP-ALG 和 CR-ALG 算法在 OSBM 问题上实现了常数因子的竞争力比率，具备理论保证，且在多种子模目标函数下均成立。
• 在预算加法函数设置下，MMP-ALG 和 CR-ALG 显著优于基线启发式方法（贪心算法和 NEG-CR），分别实现了超过 0.63 和 0.20 的竞争力比率，超过理论基准。
• 在覆盖函数场景下，当 b 较小时（b=1），贪心算法表现更优；但随着 b 增大，所提算法的性能与贪心算法相当或更优，表明其具备良好的可扩展性。
• 竞争力比率随 b 略微上升，但增幅不大，表明针对 b=1 的分析可作为理解更高容量下性能的可靠近似。
• 在包含 40 个离线顶点和 200 个在线类型（覆盖函数）以及 100 个离线顶点和 200 个在线类型（预算加法函数）的合成数据集上，实验结果验证了算法的鲁棒性与有效性。
• 实验验证了理论竞争力比率在实际中的意义，算法在不同子模函数类型和到达率分布下均表现出一致的性能。