[论文解读] Bessel Functions, Heat Kernel and the Conical Kähler-Ricci Flow

Xiuxiong Chen, Yuanqi Wang|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用 28

一句话总结

本文通过利用贝塞尔函数和韦伯公式导出的热核估计，建立了锥型凯勒-里奇流的抛物型Schauder型估计。利用这些估计，证明了锥型凯勒-里奇流的短时存在性，通过严格分析具有锥角 $2\beta\pi$ 的奇异度量，将唐纳森的开性定理推广至抛物设置。其主要贡献在于提出了一套新的分析框架，用于演化锥型凯勒度量的同时保持锥结构。

ABSTRACT

Following Donaldson's oppenness theorem on deforming a conical Kähler-Einstein metric, we prove a parabolic Schauder-type estimate with respect to conical metrics. As a corollary, we show that the conical Kähler-Ricci Flow exists for short time. The key is to establish the relevant heat kernel estimates, where we use the Weber's formula on Bessel function of the second kind and Carslaw's heat kernel representation in \cite{Car}.

研究动机与目标

• 将唐纳森关于锥型凯勒-爱因斯坦度量的开性定理推广至通过锥型凯勒-里奇流实现的抛物设置。
• 为具有锥角 $2\beta\pi$ 的锥型度量建立抛物型Schauder型估计，这对证明流的短时存在性至关重要。
• 利用第二类贝塞尔函数和韦伯公式，推导锥型度量上的热核估计。
• 为在保持锥奇点结构的同时形变锥型凯勒度量提供严格的分析基础。

提出的方法

• 在加权霍尔德空间 $C^{2+\alpha,1+\frac{\alpha}{2},\beta}$ 中推导锥型度量的抛物型Schauder估计。
• 应用韦伯公式分析锥流形上热核的第二类贝塞尔函数。
• 利用卡斯劳的热核表示法，对热算子的基本解获得精确估计。
• 运用插值不等式和抛物型最大值原理，控制Schauder估计中低阶项。
• 为初始数据为零的抛物方程 $\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta_{a(t)}u + v$ 构造先验估计。
• 通过上述估计的短时存在性论证，确立锥型凯勒-里奇流的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有锥角 $2\beta\pi$ 的锥型凯勒度量建立抛物型Schauder估计？
• RQ2 当初始度量具有锥奇点时，锥型凯勒-里奇流是否具有短时存在性？
• RQ3 如何利用贝塞尔函数等特殊函数推导锥型度量上的热核估计？
• RQ4 唐纳森关于锥型凯勒-爱因斯坦度量的线性理论在多大程度上可推广至抛物演化设置？
• RQ5 贝塞尔函数和韦伯公式在估计奇异度量上热核时起到何种作用？

主要发现

• 本文在加权霍尔德空间 $C^{2+\alpha,1+\frac{\alpha}{2},\beta}$ 中证明了锥型度量的抛物型Schauder型估计，这对流的正则性至关重要。
• 通过所导出的Schauder估计和热核控制，确立了锥型凯勒-里奇流的短时存在性。
• 利用第二类贝塞尔函数和韦伯公式，获得了锥型度量上的热核估计，为结果提供了分析基础。
• 利用锥型设置下的抛物型最大值原理，证明了估计 $|u|_{0,M\times[0,T]} \leq C^* T |v|_{0,M\times[0,T]}$。
• 该方法成功地将唐纳森的开性定理推广至抛物流设置，确认了对任意小时间 $T>0$ 存在解。
• 分析结果表明，在演化过程中锥结构得以保持，因为流在整个流形 $M$ 上被定义为一个闭电流。