[论文解读] Bifurcation sets arising from non-integer base expansions

Pieter C. Allaart, Simon Baker+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文刻画了非整数基展开中分歧集 𝔹 ⊂ (1, M+1] 的性质，其中单义集 𝒰_q 的拓扑熵 H(q) 发生不连续变化。利用横截性技术，计算了 𝒰 ℓ𝔹 的 Hausdorff 维数，证明其严格介于 0 和 1 之间，并对 M=1 和 M=2 的情形给出了精确值，涉及特定多项式之根。

ABSTRACT

Given a positive integer $M$ and $q\in(1,M+1]$, let $\mathcal U_q$ be the set of $x\in[0, M/(q-1)]$ having a unique $q$-expansion: there exists a unique sequence $(x_i)=x_1x_2\ldots$ with each $x_i\in\{0,1,\ldots, M\}$ such that \[ x=\frac{x_1}{q}+\frac{x_2}{q^2}+\frac{x_3}{q^3}+\cdots. \] Denote by $\mathbf U_q$ the set of corresponding sequences of all points in $\mathcal U_q$. It is well-known that the function $H: q\mapsto h(\mathbf U_q)$ is a Devil's staircase, where $h(\mathbf U_q)$ denotes the topological entropy of $\mathbf U_q$. In this paper we {give several characterizations of} the bifurcation set \[ \mathcal B:=\{q\in(1,M+1]: H(p) e H(q) extrm{ for any }p e q\}. \] Note that $\mathcal B$ is contained in the set $\mathcal{U}^R$ of bases $q\in(1,M+1]$ such that $1\in\mathcal U_q$. By using a transversality technique we also calculate the Hausdorff dimension of the difference $\mathcal B\backslash\mathcal{U}^R$. Interestingly this quantity is always strictly between $0$ and $1$. When $M=1$ the Hausdorff dimension of $\mathcal B\backslash\mathcal{U}^R$ is $\frac{\log 2}{3\log λ^*}\approx 0.368699$, where $λ^*$ is the unique root in $(1, 2)$ of the equation $x^5-x^4-x^3-2x^2+x+1=0$.

研究动机与目标

• 刻画分歧集 𝔹 = {q ∈ (1, M+1] : H(p) ≠ H(q) 对所有 p ≠ q 成立}，其中 H(q) 是单义集 𝒰_q 的拓扑熵。
• 分析差集 𝒰 ℓ𝔹 的结构，其中 𝒰 是使得 1 有唯一 q-展开的基 q 的集合。
• 利用横截性技术与符号动力学，计算 𝒰 ℓ𝔹 的 Hausdorff 维数。
• 证明对所有 M ≥ 1，有 dim_H(𝒰 ℓ𝔹) ∈ (0,1)，并给出 M=1 和 M=2 的精确值。
• 表明在 (q_KL, M+1] 内的熵平台结构决定了 𝒰 ℓ𝔹 的最大维数贡献。

提出的方法

• 将单义集 𝒰_q 定义为 [0, M/(q−1)] 中具有唯一 q-展开的 x 的集合，且 𝒰_q ⊂ I_q。
• 将符号单义集 𝒰_q 定义为 π_q^{-1}(𝒰_q)，并研究熵函数 H(q) = h(𝒰_q)。
• 利用横截性技术估计对称差集 𝒰_p Δ 𝒰_q 的 Hausdorff 维数。
• 刻画熵平台 [p_L, p_R] ⊂ (q_KL, M+1]，其中 H(q) 为常数，且对所有 p ≠ q，有 𝒰_q ∧ 𝒰_p 的 Hausdorff 维数为零。
• 对周期为 m、右端点为 p_R 的平台，应用公式 dim_H(𝒰 ∩ [p_L, p_R]) = log 2 / (m log p_R)。
• 利用恒等式 dim_H(𝒰 ℓ𝔹) = sup_{所有熵平台} dim_H(𝒰 ∩ [p_L, p_R])，并在 m 和 p_R 上进行优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何处，单义集 𝒰_q 的拓扑熵 H(q) 发生不连续变化？即分歧集 𝔹 的精确刻画是什么？
• RQ2 集合 𝒰 ℓ𝔹 的 Hausdorff 维数行为如何？其值由什么决定？
• RQ3 在哪个熵平台 [p_L, p_R] 上，dim_H(𝒰 ∩ [p_L, p_R]) 取得最大值？
• RQ4 M=1 和 M=2 时，dim_H(𝒰 ℓ𝔹) 的精确值是多少？它们与代数方程有何关联？
• RQ5 对所有 M ≥ 1，𝒰 ℓ𝔹 的 Hausdorff 维数是否严格介于 0 和 1 之间？

主要发现

• 对所有 M ≥ 1，𝒰 ℓ𝔹 的 Hausdorff 维数严格介于 0 和 1 之间。
• 当 M=1 时，dim_H(𝒰 ℓ𝔹) = log 2 / (3 log λ*) ≈ 0.368699，其中 λ* 是方程 x^5 - x^4 - x^3 - 2x^2 + x + 1 = 0 在区间 (1,2) 内的唯一根。
• 当 M=2 时，dim_H(𝒰 ℓ𝔹) = log 2 / (2 log γ*) ≈ 0.339607，其中 γ* 是方程 x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 2x + 1 = 0 在区间 (2,3) 内的唯一根。
• 当 M ≥ 3 时，dim_H(𝒰 ℓ𝔹) = log 2 / log q_*(M)，其中 q_*(M) 是周期 m=1 的最左侧熵平台的右端点。
• 对 𝒰 ℓ𝔹 的最大维数贡献来自周期 m 最小且右端点 p_R 最大的熵平台，对 M=1 而言为 [λ_*, λ*]，其中 m=3。
• 集合 𝒰 ℓ𝔹 是不可数集，在 𝒰 中具有全 Hausdorff 维数，且是 Lebesgue 零测集。