[论文解读] BiHom-pre-alternative algebras and BiHom-alternative quadri-algebras

Tewfik Chtioui, Sami Mabrouk+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文引入了 BiHom-pre-alternative 代数和 BiHom-alternative 四元代数，作为经典 alternative 代数和 dendriform 型代数的扭曲推广，利用 Rota-Baxter 算子和 $ϴ$-算子建立其结构联系。主要贡献在于证明：在 BiHom-pre-alternative 代数上，可逆的 $ϴ$-算子可诱导出相容的 BiHom-alternative 四元代数结构；且在这些代数上，权为零的 Rota-Baxter 算子可通过运算的形变产生新的四元代数构造。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to introduce and study the notion of BiHom-pre-alternative algebra which may be viewed as a BiHom-alternative algebra whose product can be decomposed into two compatible pieces. Furthermore, we introduce the notion of BiHom-alternative quadri-algebra and show the connections between all these algebraic structures using Rota-Baxter operators and O-operators.

研究动机与目标

• 引入并研究 BiHom-pre-alternative 代数，作为 pre-alternative 代数的扭曲推广。
• 定义 BiHom-alternative 四元代数，探讨其代数结构，并研究其与 BiHom-pre-alternative 代数的相容性。
• 通过 $ϴ$-算子和权为零的 Rota-Baxter 算子建立这些结构之间的联系。
• 通过扭曲和算子构造，将已知的结合代数与 alternative 代数理论结果推广至 BiHom 框架。

提出的方法

• 通过涉及两个可交换代数同态 $\alpha$ 和 $β$ 的扭曲结合子，引入 BiHom-alternative 代数。
• 将 BiHom-pre-alternative 代数定义为乘法可分解为两个满足扭曲左、右 alternative 恒等式的相容运算的代数。
• 利用 $ϴ$-算子将 BiHom-pre-alternative 代数与 BiHom-alternative 四元代数联系起来，证明可逆 $ϴ$-算子可诱导出相容的四元代数结构。
• 通过形变运算，从 BiHom-pre-alternative 代数上权为零的 Rota-Baxter 算子构造新的 BiHom-alternative 四元代数。
• 证明在 BiHom-alternative 代数上，若两个 Rota-Baxter 算子可交换，则它们在底层空间上诱导出一个 BiHom-pre-alternative 代数结构。
• 应用半直积构造法，从双模和 $ϴ$-算子出发，构建新的 BiHom-alternative 代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过两个代数同态的扭曲，将 pre-alternative 代数的概念推广至 BiHom 框架？
• RQ2 在何种条件下，BiHom-pre-alternative 代数可诱导出相容的 BiHom-alternative 四元代数结构？
• RQ3 $ϴ$-算子在 BiHom-pre-alternative 代数与 BiHom-alternative 四元代数之间起何种桥梁作用？
• RQ4 权为零的 Rota-Baxter 算子在 BiHom-pre-alternative 代数上如何生成新的 BiHom-alternative 四元代数结构？
• RQ5 在 BiHom 框架中，可交换的 Rota-Baxter 算子在构建嵌套代数结构中起什么作用？

主要发现

• 在 BiHom-pre-alternative 代数 $(A,\prec,\succ,\alpha,\beta)$ 上，可逆的 $ϴ$-算子通过运算 $x\searrow y = T(L_{\succ}(x)T^{-1}(y))$，$x\nearrow y = T(R_{\succ}(y)T^{-1}(x))$，$x\swarrow y = T(L_{\prec}(x)T^{-1}(y))$，和 $x\nwarrow y = T(R_{\prec}(y)T^{-1}(x))$ 诱导出 $A$ 上相容的 BiHom-alternative 四元代数结构。
• 给定一个 BiHom-alternative 四元代数，其关联的水平 BiHom-pre-alternative 代数上的恒等映射是一个可逆的 $ϴ$-算子，从而在两种结构之间建立了对偶性。
• 在 BiHom-pre-alternative 代数上，权为零的 Rota-Baxter 算子通过运算 $x\searrow_R y = R(x)\succ y$，$x\nearrow_R y = x\succ R(y)$，$x\swarrow_R y = R(x)\prec y$，和 $x\nwarrow_R y = x\prec R(y)$ 诱导出新的 BiHom-alternative 四元代数结构。
• 若 $R$ 和 $P$ 是 BiHom-alternative 代数上权为零的可交换 Rota-Baxter 算子，则 $P$ 在由 $x\prec_R y = xR(y)$ 和 $x\succ_R y = R(x)y$ 定义的 BiHom-pre-alternative 代数上也构成一个 Rota-Baxter 算子。
• 半直积构造将带有双模的 BiHom-alternative 代数转化为更大的 BiHom-alternative 代数，从而提供了一种生成新例子的方法。
• BiHom-alternative 四元代数中的运算与底层的 BiHom-pre-alternative 代数相容，如恒等式 $x\succ y = x\nearrow y + x\searrow y$ 和 $x\prec y = x\nwarrow y + x\swarrow y$ 所示。