[论文解读] Blind Deconvolutional Phase Retrieval via Convex Programming

Ali Ahmed, Alireza Aghasi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2018

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 2被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种用于盲反卷积相位恢复的凸优化框架，通过信号循环卷积的相位无关傅里叶测量值恢复两个信号。通过将双线性卷积测量值升维为矩阵恢复问题，并应用一种新颖的凸松弛方法，当两个信号分别位于维度为 $ k $ 和 $ n $ 的已知随机子空间中时，该方法在 $ m \gg (k+n)\log^2 m $ 组测量值下可严格证明恢复信号，且无需初始化。

ABSTRACT

We consider the task of recovering two real or complex $m$-vectors from phaseless Fourier measurements of their circular convolution. Our method is a novel convex relaxation that is based on a lifted matrix recovery formulation that allows a nontrivial convex relaxation of the bilinear measurements from convolution. We prove that if the two signals belong to known random subspaces of dimensions $k$ and $n$, then they can be recovered up to the inherent scaling ambiguity with $m >> (k+n) \log^2 m$ phaseless measurements. Our method provides the first theoretical recovery guarantee for this problem by a computationally efficient algorithm and does not require a solution estimate to be computed for initialization. Our proof is based Rademacher complexity estimates. Additionally, we provide an ADMM implementation of the method and provide numerical experiments that verify the theory.

研究动机与目标

• 解决从两个未知信号的循环卷积的相位无关傅里叶测量值中恢复信号这一病态问题。
• 开发一种计算高效的算法，无需初始猜测或解估计即可实现恢复。
• 首次为使用凸松弛方法的盲反卷积相位恢复提供理论恢复保证。
• 建立当信号位于已知低维子空间时，精确恢复成立的条件。

提出的方法

• 通过升维矩阵公式将双线性卷积测量值转化为矩阵恢复问题。
• 对双线性测量值应用一种新颖的凸松弛方法，将非凸问题转化为半定规划问题。
• 该方法假设两个信号均位于已知的随机子空间中，通过已知矩阵 $ \boldsymbol{B} \in \mathbb{H}^{m \times k} $ 和 $ \boldsymbol{C} \in \mathbb{H}^{m \times n} $ 参数化。
• 算法采用基于 ADMM 的实现方式，高效求解所得凸规划问题。
• ADMM 算法包括对升维矩阵变量、对偶变量的更新，以及对正半定锥的投影步骤。
• $ \boldsymbol{u} $-更新步骤涉及通过 KKT 条件求解约束优化问题，每个分量均简化为一个四次多项式方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过凸松弛方法实现盲反卷积相位恢复，并提供可证明的恢复保证？
• RQ2 当信号位于已知子空间时，精确恢复所需的最少相位无关傅里叶测量数是多少？
• RQ3 所提出的算法是否能消除盲反卷积问题中相位无关测量下的初始化需求？
• RQ4 双线性卷积结构能否被有效松弛为凸规划问题，同时保持恢复保真度？
• RQ5 Rademacher 复杂度框架如何支持该非线性、双线性测量模型中的理论恢复边界？

主要发现

• 当两个信号分别位于维度为 $ k $ 和 $ n $ 的已知随机子空间中时，该方法可严格证明从 $ m \gg (k+n)\log^2 m $ 组相位无关傅里叶测量值中恢复两个信号。
• 恢复结果在固有的尺度模糊性范围内是精确的，且无需初始化。
• 理论恢复保证基于 Rademacher 复杂度估计，提供了对测量数的非渐近界。
• 数值实验验证了理论预测，表明可成功从仅含幅度的傅里叶测量值中恢复模糊图像。
• ADMM 实现高效求解半定规划问题，每个 $ \boldsymbol{u} $-更新通过由 KKT 条件导出的四次多项式方程求解。
• 该方法在 X 射线衍射晶体学、衍射成像和可见光通信等应用中实现信号恢复，这些应用中相位信息已丢失。