[论文解读] BranchHull: Convex bilinear inversion from the entrywise product of signals with known signs

Alireza Aghasi, Ali Ahmed+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2017

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 28被引用 5

一句话总结

该论文提出BranchHull，一种用于双线性逆问题的凸优化框架，可在已知符号且两向量位于已知低维子空间中的前提下，从其逐元素乘积中恢复两个向量。当测量数超过子空间维数之和的两倍时，该方法以高概率实现精确恢复（仅存在缩放模糊性），且在小密度噪声下具有线性样本复杂度的鲁棒性。

ABSTRACT

We consider the bilinear inverse problem of recovering two vectors, $x$ and $w$, in $\mathbb{R}^L$ from their entrywise product. For the case where the vectors have known signs and belong to known subspaces, we introduce the convex program BranchHull, which is posed in the natural parameter space that does not require an approximate solution or initialization in order to be stated or solved. Under the structural assumptions that $x$ and $w$ are members of known $K$ and $N$ dimensional random subspaces, we present a recovery guarantee for the noiseless case and a noisy case. In the noiseless case, we prove that the BranchHull recovers $x$ and $w$ up to the inherent scaling ambiguity with high probability when $L\ \gg\ 2(K+N)$. The analysis provides a precise upper bound on the coefficient for the sample complexity. In a noisy case, we show that with high probability the BranchHull is robust to small dense noise when $L = Ω(K+N)$. BranchHull is motivated by the sweep distortion removal task in dielectric imaging, where one of the signals is a nonnegative reflectivity, and the other signal lives in a known wavelet subspace. Additional potential applications are blind deconvolution and self-calibration.

研究动机与目标

• 解决在已知符号和子空间约束下，从两个向量的逐元素乘积中恢复其本身这一双线性逆问题。
• 通过在自然参数空间中直接构建凸规划，消除对初始化或近似解的依赖。
• 在随机子空间假设下，为无噪声情况下的精确恢复和有噪声情况下的鲁棒性提供理论保证。
• 在介电成像、盲去卷积和自校准等实际应用中实现可行化，其中信号非负且位于低维子空间中。

提出的方法

• 提出BranchHull，一种直接在两个未知向量参数空间中构建的凸优化程序，无需初始化。
• 利用向量的已知符号定义凸可行集，从而实现对双线性问题的凸松弛。
• 采用提升技术将双线性问题转化为两个信号乘积空间上的凸规划。
• 基于已知子空间和符号信息施加约束，确保解位于可行点的凸包内。
• 通过标准内点法求解所得凸规划，保证全局最优性和稳定性。
• 在高斯随机子空间假设下，利用随机矩阵理论和浓度不等式推导恢复保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过凸优化程序在无需初始化或近似解的前提下，从其逐元素乘积中恢复两个向量？
• RQ2 当信号位于随机子空间且符号已知时，精确恢复所需的最小测量数是多少？
• RQ3 恢复性能如何随噪声变化？该方法在小密度噪声下是否仍具有鲁棒性？
• RQ4 有噪声情况下稳定恢复的精确样本复杂度阈值是什么？
• RQ5 在给定结构假设下，BranchHull 的凸公式是否能以高概率实现精确恢复？

主要发现

• 在无噪声情况下，当测量数 L 超过 2(K + N) 时（K 和 N 分别为已知子空间的维数），BranchHull 以高概率实现对真实向量的精确恢复（仅存在固有的缩放模糊性）。
• 论文给出了样本复杂度系数的精确上界，表明 L ≫ 2(K + N) 足够实现高概率恢复。
• 在有噪声情况下，当 L = Ω(K + N) 时，BranchHull 对小密度噪声具有鲁棒性，恢复误差随噪声水平 ε 的变化呈 O(√ε) 关系。
• 数值结果证实，成功恢复的 L 与 K + N 之间存在线性关系，合成实验中当 L > 2(K + N) 时恢复成功率达 100%。
• 实验恢复误差随噪声水平线性增长，表明与 ε 呈线性依赖关系，尽管理论预测为 √ε 依赖，提示理论界可能存在更紧的上界。
• 该方法在采样比约为 2.5 时实现稳定恢复，表明在实际中 L ≈ 2.5(K + N) 足够实现鲁棒估计。