[论文解读] Bounding $\chi$ by a fraction of $\Delta$ for graphs without large cliques

Marthe Bonamy, Tom Kelly+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 14被引用 7

一句话总结

该论文针对不含大团的图，建立了对贪心染色界的一个线性改进，证明了在最大度为∆且无大小为ω的团的图中，列表色数χℓ(G) = O(∆ / √(ln ω / ln ∆))。该结果通过一种局部染色条件实现，其中每个顶点的可用颜色数取决于其度数及其邻域中的团结构，统一并强化了Johansson与Reed的先前结果，并证实了对大∆时存在线性改进的猜想。

ABSTRACT

The greedy coloring algorithm shows that a graph of maximum degree at most $\Delta$ has chromatic number at most $\Delta + 1$, and this is tight for cliques. Much attention has been devoted to improving this "greedy bound" for graphs without large cliques. Brooks famously proved that this bound can be improved by one if $\Delta \geq 3$ and the graph contains no clique of size $\Delta + 1$. Reed's Conjecture states that the "greedy bound" can be improved by $k$ if the graph contains no clique of size $\Delta + 1 - 2k$. Johansson proved that the "greedy bound" can be improved by a factor of $\Omega(\ln(\Delta)^{-1})$ or $\Omega\left(\frac{\ln(\ln(\Delta))}{\ln(\Delta)} ight)$ for graphs with no triangles or no cliques of any fixed size, respectively. Notably missing is a $ extit{linear}$ improvement on the "greedy bound" for graphs without large cliques. In this paper, we prove that for sufficiently large $\Delta$, if $G$ is a graph with maximum degree at most $\Delta$ and no clique of size $\omega$, then $$\chi(G) \leq 72\Delta\sqrt{\frac{\ln(\omega)}{\ln(\Delta)}}.$$ This implies that for sufficiently large $\Delta$, if $\omega^{(72c)^2} \leq \Delta$ then $\chi(G) \leq \Delta/c$. This bound actually holds for the list-chromatic and even the correspondence-chromatic number (also known as the DP-chromatic number). In fact, we prove what we call a "local version" of it, a result implying the existence of a coloring when the number of available colors for each vertex depends on local parameters, like the degree and the clique number of its neighborhood. Our result simultaneously implies the linear improvement over the "greedy bound" and the two aforementioned results of Johansson.

研究动机与目标

• 解决不含大团的图的色数贪心界是否可实现线性改进的问题。
• 统一并强化Johansson关于无三角形图与H-无三角图结果的先前工作。
• 建立一种局部染色条件，其中颜色可用性取决于顶点的度数及其邻域团的大小。
• 确认关于贪心界存在线性改进的猜想，尤其针对满足ω = o(∆)且∆较大的图。
• 将结果推广至列表色数与对应色数（DP-色数）。

提出的方法

• 引入一种局部染色条件：每个顶点v必须满足|L(v)| ≥ 72 deg(v) · min{ log²(χ(v)+1)/ln(deg(v)), ω(v) ln(ln(deg(v)))/ln(deg(v)), √(ln(ω(v))/ln(deg(v))) } 个可用颜色。
• 运用拉姆齐理论界与Shearer引理，对邻域子图中的独立集大小进行精细化分析。
• 使用Stirling近似与对数不等式，对独立集数量进行界定，以确保颜色可用性。
• 采用概率方法结合迭代颜色剔除，证明在该局部条件下存在有效染色。
• 利用Molloy与Bernshteyn关于不含大团图中独立集下界的结果。
• 通过定理1.13证明主结论，该定理保证在推导出的局部条件下图L-可染色。

实验结果

研究问题

• RQ1 不含大团的图的色数贪心界∆+1是否可实现线性改进？
• RQ2 是否存在一个统一的界，使得列表色数满足O(∆ / √(ln ω / ln ∆))，其中图中无大小为ω的团？
• RQ3 Johansson对无三角形图与H-无三角图的界能否在单一局部染色条件下统一并推广？
• RQ4 对应色数（DP-色数）是否也满足该改进后的界？
• RQ5 函数f(c)的最佳可能形式为何，使得当ω ≤ ∆^{1/f(c)}时，有χℓ(G) ≤ ∆/c？

主要发现

• 对于最大度为∆且无大小为ω的团的图，列表色数χℓ(G)满足O(∆ / √(ln ω / ln ∆))的界。
• 当∆足够大时，若ω ≤ (∆^{1/(72c)^2})，则χℓ(G) ≤ ∆/c，证实了对贪心界的线性改进。
• 该界不仅适用于色数，也适用于列表色数与对应色数（DP-色数）。
• 证明了一种局部染色条件是充分的：每个顶点v至少需要72 deg(v)倍于以下三项最小值的可用颜色，其中三项涉及其邻域的色数、团大小与度数。
• 该结果统一并强化了Johansson的界：它恢复了无三角形图的O(∆ / ln ∆)界，以及H-无三角图的O(∆ ln ln ∆ / ln ∆)界。
• 本文基于拉姆齐数构造，为问题1.5中的函数f(c)提供了下界，表明f(c) ≥ c/2 + 1（当整数c ≥ 3时）。