[论文解读] Bounds on MAXCUT QAOA performance for p>1

Jonathan Wurtz, Peter J. Love|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 11

一句话总结

该论文为3-正则图上的MAXCUT问题的量子近似优化算法（QAOA）建立了改进的最坏情况性能边界，表明当p=2时下界为0.7559，并推测当p=3时下界至少为0.7924。通过不可区分性论证，进一步推导出最坏情况近似比的上界，表明在某些图类中，当p<6时不存在量子优势。

ABSTRACT

We obtain worst case performance guarantees for $p=2$ and $3$ QAOA for MAXCUT on uniform 3-regular graphs. Previous work by Farhi et al obtained a lower bound on the approximation ratio of $0.692$ for $p=1$. We find a lower bound of $0.7559$ for $p=2$, where worst case graphs are those with no cycles $\leq 5$. This bound holds for any 3 regular graph evaluated at particular fixed parameters. We conjecture a hierarchy for all $p$, where worst case graphs have with no cycles $\leq 2p+1$. Under this conjecture, the approximation ratio is at least $0.7924$ for all 3 regular graphs and $p=3$. In addition, using a simple indistinguishability argument we find an upper bound on the worst case approximation ratio for all $p$, which indicates classes of graphs for which there can be no quantum advantage for at least $p<6$.

研究动机与目标

• 为p>1时在3-正则图上QAOA在MAXCUT问题中的最坏情况性能保证提供严格证明。
• 识别出使QAOA性能最低的图结构，特别是那些不包含短环的图。
• 基于环长（≤2p+1）提出一个针对一般p的最坏情况图的层级猜想。
• 推导最坏情况近似比的上界，以确定在p<6时量子优势不太可能出现的图类。

提出的方法

• 作者使用固定且最优的参数分析p=2和p=3时在3-正则图上的QAOA性能。
• 他们将最坏情况图识别为不包含长度≤5的环的图（p=2时），并推测一般情况下不包含长度≤2p+1的环。
• 应用一种简单的不可区分性论证，推导出所有p下最坏情况近似比的上界。
• 分析利用3-正则图中的对称性和局部结构，以限制QAOA试探态的期望能量。

实验结果

研究问题

• RQ1 当p=2时，QAOA在3-正则图上MAXCUT问题的最坏情况近似比能达到多少？
• RQ2 QAOA性能的最坏情况图如何依赖于p的取值？
• RQ3 能否基于环长限制提出一个最坏情况图的一般层级猜想？
• RQ4 可以为最坏情况近似比设定怎样的上界，以排除小p时的量子优势？
• RQ5 对于哪些图类，在p<6时使用QAOA进行MAXCUT无法实现量子优势？

主要发现

• 当p=2时，QAOA在3-正则图上的最坏情况近似比下界为0.7559，该下界在不包含长度≤5的环的图上实现。
• 当p=3时，在假设最坏情况图不包含长度≤7的环的前提下，近似比至少为0.7924。
• 作者提出一个一般性猜想：对于p的最坏情况图不包含长度≤2p+1的环。
• 通过不可区分性论证推导出最坏情况近似比的上界，表明在某些图类中，当p<6时不存在量子优势。
• 结果表明，QAOA的性能对图的局部结构最为敏感，特别是短环的缺失。