[论文解读] Bribery as a Measure of Candidate Success: Complexity Results for Approval-Based Multiwinner Rules

Piotr Faliszewski, Piotr Skowron+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2021

Game Theory and Voting Systems参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文引入贿赂作为批准制多winner选举中候选人成功的新度量方式，通过最小化投票修改使候选人获胜所需的成本来反映其选举表现。该文对六种基于批准制的多winner规则进行了全面的复杂性分析，揭示了从多项式时间可解到不可逼近问题的丰富复杂性图景，并为参数化设置建立了FPT算法。

ABSTRACT

We study the problem of bribery in multiwinner elections, for the case where the voters cast approval ballots (i.e., sets of candidates they approve) and the bribery actions are limited to: adding an approval to a vote, deleting an approval from a vote, or moving an approval within a vote from one candidate to the other. We consider a number of approval-based multiwinner rules (AV, SAV, GAV, RAV, approval-based Chamberlin--Courant, and PAV). We find the landscape of complexity results quite rich, going from polynomial-time algorithms through NP-hardness with constant-factor approximations, to outright inapproximability. Moreover, in general, our problems tend to be easier when we limit out bribery actions on increasing the number of approvals of the candidate that we want to be in a winning committee (i.e., adding approvals only for this preferred candidate, or moving approvals only to him or her). We also study parameterized complexity of our problems, with a focus on parameterizations by the numbers of voters or candidates.

研究动机与目标

• 解决多winner批准制选举中失败候选人缺乏有意义绩效度量的问题。
• 克服传统基于得分的评估方法的局限性，这些方法可能具有任意性、信息量不足，或在多winner设置下不适用。
• 提出一种新的概念框架，利用贿赂问题来量化候选人距离获胜有多近，基于对投票的最小修改。
• 分析在各种基于批准制的多winner规则下贿赂问题的计算复杂性，包括AV、SAV、GAV、RAV、ABC和PAV。
• 探索以选民数或候选人数量为参数的参数化复杂性，识别可解情况并建立FPT算法。

提出的方法

• 形式化批准制多winner选举中的贿赂问题，允许三种操作：增加一次批准、删除一次批准，或在候选人之间移动一次批准。
• 将每个贿赂实例建模为一个最小费用最大流网络，包含源点、候选人节点、类型节点和汇点，其中流表示批准的变化。
• 使用节点类型表示每位选民可能的批准模式，并根据允许的贿赂操作为类型之间的转换分配费用。
• 应用多项式时间的最小费用最大流算法，计算目标候选人获胜所需的最小贿赂成本，通过流约束确保可行性。
• 通过证明问题在参数k（选民数或候选人数）下可在时间f(k) · poly(n)内求解，建立FPT结果，方法为在候选人类型上使用动态规划。
• 利用批准选票和流网络的结构特性，将类型数减少至2^n，从而在选民数量较小时实现高效计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在批准制多winner选举中，除了传统得分外，如何有意义地衡量失败候选人的成功？
• RQ2 在各种基于批准制的多winner规则下，确定使给定候选人获胜所需最少批准更改数的计算复杂性如何？
• RQ3 当以选民数或候选人数为参数时，哪些贿赂问题是可解的（例如，多项式时间或FPT）？
• RQ4 当贿赂操作被限制为仅有利于目标候选人时，复杂性如何变化？特别是，当仅允许为首选候选人增加批准时。
• RQ5 最小费用流技术能否有效应用于建模和求解批准制多winner选举中的贿赂问题？

主要发现

• 贿赂成本提供了一种稳健且直观的候选人成功度量：成本越低，表现越强。
• 对于所研究的所有规则——AV、SAV、GAV、RAV、ABC和PAV——当以候选人或选民数量为参数时，贿赂问题属于XP类。
• 该问题关于选民数量是FPT的，因为最小费用流公式在候选人数量上为多项式时间，在选民数量上为指数时间。
• 复杂性图景丰富多样：问题范围从多项式时间可解，到NP难且具有常数因子近似，再到不可逼近。
• 当贿赂操作被限制为仅有利于目标候选人时（例如，仅增加对首选候选人的批准），问题显著简化，因为解空间减小。
• 最小费用流模型成功捕捉了所有允许的贿赂操作，并能够高效计算最小成本变换，尤其在参数化约束下表现优异。