[论文解读] C*-algebras of Boolean inverse monoids - traces and invariant means

Charles Starling|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文在紧致群丛为豪斯多夫空间的条件下，建立了布尔反演幺半群上的不变均值与关联的普遍C*-代数上的迹之间的一一对应关系。证明了C*-代数 $ C^{*}_{B}(S) $ 上的迹空间同构于 $ S $ 上的不变均值空间，并利用此结果表明，任意可度量化的Choquet单纯形均可作为某个AF反演幺半群的不变均值空间出现。

ABSTRACT

To a Boolean inverse monoid $S$ we associate a universal C*-algebra $C_B^*(S)$ and show that it is equal to Exel's tight C*-algebra of $S$. We then show that any invariant mean on $S$ (in the sense of Kudryavtseva, Lawson, Lenz and Resende) gives rise to a trace on $C_B^*(S)$, and vice-versa, under a condition on $S$ equivalent to the underlying groupoid being Hausdorff. Under certain mild conditions, the space of traces of $C_B^*(S)$ is shown to be isomorphic to the space of invariant means of $S$. We then use many known results about traces of C*-algebras to draw conclusions about invariant means on Boolean inverse monoids; in particular we quote a result of Blackadar to show that any metrizable Choquet simplex arises as the space of invariant means for some AF inverse monoid $S$.

研究动机与目标

• 为布尔反演幺半群 $ S $ 构造一个普遍C*-代数 $ C^{*}_{B}(S) $，并证明其与Exel的紧致C*-代数一致。
• 在关联群丛为豪斯多夫空间的条件下，证明 $ S $ 上的不变均值与 $ C^{*}_{B}(S) $ 上的迹之间存在双射对应关系。
• 在群丛为本原且可约的附加条件下，证明 $ C^{*}_{B}(S) $ 上的迹空间与 $ S $ 上的不变均值空间同构。
• 将结果应用于AF反演幺半群和密铺结构，表明任意可度量化的Choquet单纯形均可作为某个AF反演幺半群的不变均值空间。
• 将C*-代数中迹的已知结果与布尔反演幺半群的结构性质联系起来，特别是在非周期密铺和自相似群的背景下。

提出的方法

• 将 $ C^{*}_{B}(S) $ 定义为保持有限相容并集的布尔反演幺半群 $ S $ 的表示的普遍C*-代数。
• 利用保并集表示即为紧致表示的事实，证明 $ C^{*}_{B}(S) $ 同构于Exel的紧致C*-代数 $ C^{*}_{\text{tight}}(S) $。
• 在条件 (H) 下（确保紧致群丛 $ \mathcal{G}_{\text{tight}}(S) $ 为豪斯多夫空间），构建满足 $ \mu(e \vee f) = \mu(e) + \mu(f) $ 的不变均值 $ \mu: E(S) \to [0,\infty) $（对正交元素 $ e,f $）与 $ C^{*}_{B}(S) $ 上迹之间的对应关系。
• 证明 $ \mathcal{G}_{\text{tight}}(S) $-不变测度在单位空间上的空间与 $ S $ 上的不变均值空间之间存在仿射同构，无论群丛是否本原或可约。
• 利用 $ C^{*}_{B}(S) $ 与紧致群丛C*-代数之间的同构，将迹的结果转移到幺半群设定中。
• 应用Blackadar关于Choquet单纯形的结果，表明通过其关联的Bratteli图的C*-代数，任意可度量化的Choquet单纯形均可作为某个AF反演幺半群 $ S $ 的不变均值空间出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为尊重有限相容并集的布尔反演幺半群构造一个普遍C*-代数？
• RQ2 布尔反演幺半群上的不变均值与关联C*-代数上的迹之间的确切关系是什么？
• RQ3 在何种条件下，不变均值与迹之间的对应关系成为双射？
• RQ4 布尔反演幺半群的C*-代数上的迹空间能否实现任意可度量化的Choquet单纯形？
• RQ5 C*-代数中关于非周期密铺和自相似群的迹的已知结果，如何转化为布尔反演幺半群上的不变均值设定？

主要发现

• 布尔反演幺半群 $ S $ 的普遍C*-代数 $ C^{*}_{B}(S) $ 同构于Exel的紧致C*-代数 $ C^{*}_{\text{tight}}(S) $，从而确立了C*-代数的规范实现。
• 在条件 (H) 下（确保紧致群丛 $ \mathcal{G}_{\text{tight}}(S) $ 为豪斯多夫空间），$ S $ 上的每个不变均值均对应于 $ C^{*}_{B}(S) $ 上的一个迹，反之亦然。
• 当 $ \mathcal{G}_{\text{tight}}(S) $ 同时为本原且可约时，不变均值与迹之间的对应关系为双射。
• 在 $ S $ 上的不变均值空间与 $ \mathcal{G}_{\text{tight}}(S) $-不变测度在单位空间上的空间之间始终存在仿射同构。
• 对于由Bratteli图导出的AF反演幺半群，C*-代数 $ C^{*}_{B}(S) $ 同构于相应的AF C*-代数。
• 利用Blackadar关于Choquet单纯形的结果，本文得出结论：任意可度量化的Choquet单纯形均可作为某个AF反演幺半群 $ S $ 的不变均值空间出现。