[论文解读] C-independence and c-rank of posets and lattices

Zur Izhakian, John Rhodes|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2011

Advanced Algebra and Logic参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文通过布尔矩阵和超布尔矩阵表示，引入有限偏序集与格的c-独立性与c-秩，证明有限格的c-秩等于其高度。该理论将c-独立子集与哈斯图中的最大链及划分联系起来，并应用于腔室系统与遗传族，通过部分截面与格的完备化实现。

ABSTRACT

Continuing with the authors concept (and results) of defining independence for columns of a boolean and superboolean matrix, we apply this theory to finite lattices and finite posets, introducing boolean and superboolean matrix representations for these objects. These representations yield the new concept of c-independent subsets of lattices and posets, for which the notion of c-rank is determined as the cardinality of the largest c-independent subset. We characterize this c-rank and show that c-independent subsets have a very natural interpretation in term of the maximal chains of the Hasse diagram and the associated partitions of the lattice. This realization has direct important connections with chamber systems.

研究动机与目标

• 将布尔矩阵与超布尔矩阵中的独立性概念推广至有限偏序集与格。
• 利用矩阵表示定义偏序集与格的c-独立性与c-秩作为不变量。
• 以最大链与哈斯图的划分来刻画c-独立子集。
• 通过格结构建立c-独立性与腔室系统之间的联系。
• 通过布尔表示与闭包运算，将该框架应用于遗传族与抽象单纯复形。

提出的方法

• 在半环SB上使用超布尔矩阵表示有限偏序集与格，矩阵元素取值于{0, 1, 1^ν}。
• 通过子矩阵的永久式定义c-独立性，其中非奇异矩阵（永久式=1）表示独立。
• 构造格的Dedekind-MacNeille完备化以定义划分与部分截面。
• 通过链上的“推进”操作保持c-独立子集，并将其与格结构关联。
• 应用布尔模与闭包运算，将布尔矩阵表示转化为闭集的格结构。
• 证明由此生成的划分的部分截面恰好对应于原始遗传族的成员。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将矩阵理论中的独立性概念推广至有限偏序集与格？
• RQ2 c-独立子集在最大链与哈斯图中的结构意义为何？
• RQ3 有限格的c-秩如何与高度及链结构相关联？
• RQ4 能否通过闭包与划分等格论构造，从布尔矩阵表示重构遗传族的布尔表示？
• RQ5 何种条件可确保遗传族允许布尔矩阵表示？

主要发现

• 有限格的c-秩等于其高度，如定理4.5所证明。
• 格的c-独立子集与哈斯图中的最大链之间存在双射关系。
• 链上的“推进”操作保持c-独立性，如定义4.7所形式化。
• 布尔矩阵表示的闭包生成的格结构中，划分的部分截面可还原原始遗传族。
• 并非所有满足点替换性质的遗传族都允许布尔表示，如定理5.6中的反例所示。
• 由扩充布尔矩阵构造的闭集格同构于原始结构的Dedekind-MacNeille完备化。