[论文解读] Calabi-Yau Threefolds and Moduli of Abelian Surfaces I

Mark Gross, Sorin Popescu|ArXiv.org|Jan 14, 2000

Algebraic Geometry and Number TheoryMathematics被引用 18

一句话总结

本文为具有典范水平结构的极化阿贝尔曲面模空间构造了双有理模型，具体证明了 Alev_6 双有理同构于 P^4 中的光滑二次曲面，Alev_8 双有理同构于 P^2 上的有理二次曲面丛，Alev_10 双有理同构于 P^3/Z2×Z2 的商空间。这些结果确立了这些模空间的有理性或单有理性，并通过由对称矩阵定义的奇点三复形的解析解中出现的阿贝尔曲面纤维丛，揭示了其与卡拉比-丘三复形之间的深刻联系。

ABSTRACT

We describe birational models and decide the rationality/unirationality of moduli spaces AA_{d} (and AA^{lev}_{d}) of (1,d)-polarized abelian surfaces (with canonical level structure, respectively) for small values of d. The projective lines identified in the rational/unirational moduli spaces correspond to pencils of abelian surfaces traced on nodal threefolds living naturally in the corresponding ambient projective spaces, and whose small resolutions are new Calabi-Yau threefolds with Euler characteristic zero.

研究动机与目标

• 确定小 d 值下模空间 Alev_d 的双有理几何，特别是 d = 6, 8, 10 的情形。
• 通过构造显式的双有理模型，确立这些模空间的有理性或单有理性。
• 探讨由包含 (1,d)-极化阿贝尔曲面族的奇异三复形解析解所生成的卡拉比-丘三复形的作用。
• 将这些模空间的几何结构与已知例子（如 Horrocks-Mumford 五次曲面和素 Fano 三复形）联系起来。
• 为确定高维模空间的 Kodaira 维数并理解其单有理性提供基础。

提出的方法

• 利用对称矩阵与线性系统定义三复形 X ⊂ P^7（当 d=8 时）和 X ⊂ P^4（当 d=6 时），其上阿贝尔曲面作为完全交出现。
• 构造小解析解 π: eX → X，以生成具有阿贝尔曲面纤维丛的卡拉比-丘三复形。
• 分析 (1,d)-极化阿贝尔曲面的齐次理想，表明当 d=8 时，该理想由 4 个二次式与 16 个三次式生成。
• 利用海森堡不变性与对称矩阵的模空间，证明此类三复形的族构成一个 P^2-丛，从而导出 Alev_8 的二次曲面丛结构。
• 通过 P^3 上 Z2×Z2 作用的显式双有理参数化，构造 Alev_10 的模型，其中作用形式为 (x1:x2:x3:x4) ↦ (x4:x3:x2:x1) 与 (x1:x2:x3:x4) ↦ (x1:−x2:x3:−x4)，且该商空间为有理曲面。
• 将奇异三复形的解析解与 Horrocks-Mumford 五次曲面进行比较，推导出卡拉比-丘结构及奇点类型（50 个普通双重点）。

实验结果

研究问题

• RQ1 Alev_6 是否双有理同构于 P^4 中的光滑二次曲面？这对其有理性有何含义？
• RQ2 Alev_8 能否被描述为 P^2 上的有理二次曲面丛？其几何结构如何源于其定义三复形的性质？
• RQ3 Alev_10 的双有理结构为何？P^3 上 Z2×Z2 作用的商空间如何与该模空间相关？
• RQ4 由对称矩阵构造的卡拉比-丘三复形与已知例子（如 Horrocks-Mumford 五次曲面）有何关联？
• RQ5 这些卡拉比-丘三复形的极小模型的凯勒锥结构为何？其如何反映纤维丛的几何特征？

主要发现

• Alev_6 双有理同构于 P^4 中的非奇异二次曲面，确立了其有理性。
• Alev_8 双有理同构于 P^2 上的有理二次曲面丛，该结构源于一个含 64 个普通双重点的海森堡不变三复形族。
• Alev_10 双有理同构于商空间 P^3/Z2×Z2，其中作用由 (x1:x2:x3:x4) ↦ (x4:x3:x2:x1) 与 (x1:x2:x3:x4) ↦ (x1:−x2:x3:−x4) 给出，且该商空间为有理曲面。
• 当 d=8 时，三复形 X ⊂ P^7 是 4 个二次曲面与 16 个三次曲面的完全交，其奇点集为 64 个普通双重点。
• X 的小解析解生成一个具有阿贝尔曲面纤维丛的卡拉比-丘三复形，且该解析解双有理同构于 Horrocks-Mumford 五次曲面的双重覆盖。
• 对一般 y，三复形 W10,y 是一个具有 25 个普通双重点的卡拉比-丘三复形，其为由对称矩阵定义的奇异三复形的无分支双重覆盖。