[论文解读] Calculating maps between n-categories

Carlos Simpson|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文提出了一种具体、明确的方法，通过在Tamsamani的$n$-预范畴模型范畴中使用自由上纤维化重构，计算$n$-范畴之间映射的同伦类。通过将源$n$-范畴替换为自由上纤维化重构$F^\cdot$，在$Ho(n\text{-}Cat)$中的同伦类集合$[A,B]$被计算为映射$F^1 \to B$与$F^0 \to B$的余等化子，其中同伦等价性通过扩展至$F^1$来定义。其主要贡献在于为$n$-范畴同伦理论中的导出映射空间提供了实用、直观的计算方法。

ABSTRACT

We give an explicit way of calculating the set of homotopy classes of morphisms from a Tamsamani n-category A to another one B. This calculation uses a Reedy-cofibrant cosimplicial resolution of A, using a new notion of ``free cofibration'' of n-precats. The free cofibrations of n-precats seem to be the analogue for n-categories of the Bousfield-Kan cofibrations in the theory of diagrams.

研究动机与目标

• 提供一种实用、明确的方法，用于计算$n$-范畴之间映射的同伦类，避免在Dwyer-Kan局部化中使用抽象的纤维化替换。
• 解决高阶范畴理论中$n$-范畴映射空间缺乏直观计算工具的问题。
• 通过使用自由上纤维化重构，建立抽象闭模型结构的可计算替代方案。
• 证明同伦范畴$Ho(n\text{-}Cat)$可通过自由上纤维化重构上的余等化构造来计算。

提出的方法

• 在$n$-预范畴的范畴中构造一个自由上纤维化重构$F^\cdot \to A$，其中$F^0$为自由上纤维化，且$F^0 \sqcup F^0 \to F^1$为自由上纤维化。
• 利用$nPC$上的Reedy模型结构，确保$F^\cdot$为Reedy上纤维化，从而支持导出映射空间的计算。
• 应用Dwyer-Kan局部化$L(n\text{-}Cat)$，并利用同构$\pi_0 \text{Hom}_{L(n\text{-}Cat)}(A,B) \cong \text{Hom}_{Ho(n\text{-}Cat)}(A,B)$。
• 将映射$F^0 \to B$的同伦等价性定义为可延拓至映射$F^1 \to B$，利用自由上纤维化的提升性质。
• 证明两个映射$F^0 \to B$同伦当且仅当它们的不交并可延拓至映射$F^1 \to B$，通过使用$F^2$的链复合论证。
• 利用$nPC$中纤维化替换可沿自由上纤维化进行提升的事实，确保该构造计算出正确的同伦类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以具体、算法化的方式计算$n$-范畴之间映射的同伦类集合？
• RQ2 在$Ho(n\text{-}Cat)$中计算导出映射空间时，$nPC$中的自由上纤维化重构能否替代纤维化替换？
• RQ3 在$Ho(n\text{-}Cat)$中，两个映射$F^0 \to B$表示同伦映射的精确条件是什么？
• RQ4 映射$F^0 \to B$之间的同伦关系是否等价于存在一个至$F^1 \to B$的单一延拓？
• RQ5 能否使用$F^1 \rightrightarrows F^0$的余等化子来计算$\text{Hom}_{Ho(n\text{-}Cat)}(A,B)$？

主要发现

• 在$Ho(n\text{-}Cat)$中，从$A$到$B$的同伦类集合同构于$\pi_0 \text{Hom}_{n\text{-}Cat}(F^\cdot, B)$，其中$F^\cdot \to A$为自由上纤维化重构。
• 映射$A \to B$的同伦类被计算为图中$F^0 \rightrightarrows F^1 \to A$的两个面映射$F^1 \rightrightarrows F^0$的余等化子，其中$F^0$为自由上纤维化。
• 两个映射$F^0 \to B$同伦当且仅当它们的不交并可延拓至映射$F^1 \to B$，从而建立了一个单步同伦判定准则。
• 该构造通过使用自由上纤维化重构避免了纤维化替换，为标准模型范畴方法提供了更明确、可计算的替代方案。
• 该方法有效，因为自由上纤维化满足相对于纤维化替换的同伦提升性质，从而确保了正确性。
• 结果在等价下保持稳定：若$F^0 \to A$和$F^1 \to A$是$n$-范畴的等价，则该构造能正确计算$Ho(n\text{-}Cat)$-态射集合。